随机连接模型

随机连接模型 (RCM) 是 连续渗流理论 的 图论 模型，其特征在于存在 平稳点过程 和 非增函数 ，它们共同确定了在 中各个 顶点 之间绘制 边 的方法，其中 是某个维度。

在这种情况下，函数 被称为连接函数，RCM 被称为由 驱动。模型本身用 表示。

作为 的普通最近邻 键渗流 的推广，连续渗流的随机连接模型应被视为 布尔 模型和 布尔-泊松模型 的对比鲜明的替代方案，在这两个模型中，上述第二个条件被 随机变量 替换。更准确地说，布尔模型和布尔-泊松模型通过构建 维 闭球，这些球 中心位于 的点，并分配由 确定的随机 半径 来展示 渗流；相反，RCM 使用图论的概念，将来自 的点视为顶点，并在 对之间插入边，概率 为 ，且与 中所有其他点对独立，其中 表示 中的典型 欧几里得距离。 然而，尽管这两种方法存在差异，但它们是相似的，因为对于任何一种方法的数学精确表示都需要复杂的机制；RCM 的形式化构造如下。

设 是在 概率空间 上定义的 点过程。接下来，定义空间 为 乘积

(1)

其中乘积取自所有无序对 二进制立方体，并定义与 关联的常用 乘积测度 ，以便所有 边缘概率 由 上的 勒贝格测度 给出。最后，定义 并为 配备乘积测度 。在此构造下，RCM 是从 到 的 可测映射，定义为

(2)

这里， 表示 σ-代数 上所有计数测度的集合， 中的 Borel 集，它为所有有界 Borel 集分配有限测度，并为点分配最多为 1 的值。

然后，通过首先注意到每个点 包含在唯一阶为 的二进制立方体 中，并且对于每个 ，存在唯一的最小数 ，使得 不包含 的其他点，-几乎必然。考虑到这一点，对于任意两点 ，考虑二进制立方体

(3)

和

(4)

分别地，由此点 和 被连接，当且仅当

(5)

其中 是用于表示元素 的符号。使用这种构造，可以得到 维欧几里得空间中的顶点集合，这些顶点根据上述随机过程连接。

随机连接模型中使用的一些术语：点 和 之间的边用无序对 表示， 称为 的端点。如果存在一个有限序列，则称 中的两个点 是连接的

(6)

使得对于所有 ，边 被插入，并且以典型的图论方式，然后将分支定义为点集 ，该点集在任何两点 彼此连接的属性方面是最大的。原点的占据分支用 表示，并被认为是该模型中布尔模型中占据分支概念的类似物。该模型没有空缺分支概念的类似物。

上图说明了随机连接模型的实现，说明了与其相关的一些术语。在此图中，分支 的形式为 ，其边具有 、 和 的形式。