布尔模型

在大多数现代文献中，布尔模型是连续渗流理论的概率模型，其特征在于存在一个平稳点过程 和一个随机变量 ，它们独立地确定中心和半径，构成 中一些闭球的集合，其中 是维度。

在这种情况下，该模型被称为由 驱动。

值得注意的是，关于使用 和 构建可行模型的最直观想法通常会导致意想不到和不良的结果（Meester 和 Roy 1996）。因此，需要更精密的机制和相当多的谨慎，才能将 和 的语言转化为合理的连续渗流模型。正式的构建如下。

设 为如上所述的平稳点过程，并假设 定义在概率空间 上。接下来，定义空间 为乘积空间

(1)

并定义与 相关的通常乘积 σ-代数 和乘积测度 ，其中，所有边缘概率由某个概率测度 在 上给出。最后，定义 ，赋予 乘积测度 和通常乘积 -代数。在此构造下，布尔模型是从 到 的可测映射，由下式定义

(2)

其中， 表示 -代数 上所有计数测度的集合， 是 Borel 集，它为所有有界 Borel 集分配有限测度，并且为点 分配最多为 1 的值。

然后，通过首先定义 阶的所谓二进制立方体集合来过渡到渗流

(3)

对于所有 ，，并通过注意到每个点 包含在唯一的 阶二进制立方体中。此外，对于每个 ，存在唯一的最小数 使得 不包含 的其他点，-几乎必然成立。这一事实允许人们将以 为中心的球的半径 定义为

(4)

其中 是用于表示元素 的符号。使用这种构造，人们得到了一系列重叠的 维闭球，它们的半径独立于点过程 ，并且不同点的球具有独立同分布的半径。

以这种方式构造的一般布尔模型通常表示为 或 ，可以互换使用。在 是密度为 的泊松过程的特殊情况下，测度 有时写为 ，而事件 的概率则可以互换地写为 或 。

在布尔模型中，空间 被划分为两个区域，即占用区域—— 中至少被一个球覆盖的子集，表示为 ——及其补集，即空闲区域。这两个区域是相似的，因为两者都由连通分量组成（分别是占用分量和空闲分量），并且符号 用于表示所有占用分量的并集，这些分量与子集 有非空交集。对于 ，使用符号 ，并且在空闲的情况下，整个过程都使用相同的符号，用 代替 。在同一占用分量中的两个点 被称为在占用区域中连通，有时表示为

(5)

空闲区域中的连通性以类似的方式定义，并表示为

(6)

如果对于某个 ， 和 在 的同一占用分量中，或者在 的同一空闲分量中，则使用符号 在 中，或者使用 在 中。

上图说明了布尔模型的实现，展示了与其相关的一些术语。在此图中，阴影区域是 ，而较深的阴影区域是 。请注意，由于 非空，因此 为空。此外，连接 和 的路径完全位于 中；这表明 位于 的同一空闲分量中，因此得出 在 中。

历史上，术语布尔模型也曾用于指代现在称为布尔-泊松模型的模型 (Hanisch 1981)。