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概率

概率是数学的一个分支，研究给定事件的可能结果以及结果的相对可能性和分布。在日常用法中，“概率”一词用于表示特定事件（或一组事件）发生的可能性，以线性尺度从 0（不可能）到 1（确定）表示，也表示为 0 到 100% 之间的百分比。对受概率支配的事件的分析称为统计学。

对于概率的实际“含义”，有几种相互竞争的解释。频率主义者将概率简单地视为结果频率的度量（更传统的解释），而贝叶斯主义者则更主观地将概率视为一种统计程序，旨在根据观察到的分布来估计潜在分布的参数。

一个适当归一化的函数，为某个区间内每个可能的结果分配概率“密度”，称为概率密度函数（或概率分布函数），其累积值（连续分布的积分或离散分布的总和）称为分布函数（或累积分布函数）。

随机变量定义为服从给定概率定律的所有随机变量的集合。通常用大写字母（最常见的是 X）表示随机变量。 X 可以取的所有值的集合然后称为值域，表示为 R_X（Evans et al. 2000, p. 5）。 X 值域中的特定元素称为分位数，表示为 x，而随机变量 X 取元素 x 的概率表示为 P(X=x)。

概率被定义为服从某些假设，称为概率公理。设样本空间包含所有可能事件 E_i 的并集（ union ），因此

S=( union _(i=1)^NE_i),
(1)

并且设 E 和 F 表示 S 的子集。此外，设 F^'=not-F 为 F 的补集，因此

F union F^'=S.
(2)

那么集合 E 可以写成

E=E intersection S=E intersection (F union F^')=(E intersection F) union (E intersection F^'),
(3)

其中 intersection 表示交集。那么

P(E)=P(E intersection F)+P(E intersection F^')-P[(E intersection F) intersection (E intersection F^')]
(4)
=P(E intersection F)+P(E intersection F^')-P[(F intersection F^') intersection (E intersection E)]
(5)
=P(E intersection F)+P(E intersection F^')-P(emptyset intersection E)
(6)
=P(E intersection F)+P(E intersection F^')-P(emptyset)
(7)
=P(E intersection F)+P(E intersection F^'),
(8)

其中 emptyset 是空集。

设 P(E|F) 表示在 F 已经发生的情况下 E 的条件概率，那么

P(E)=P(E|F)P(F)+P(E|F^')P(F^')
(9)
=P(E|F)P(F)+P(E|F^')[1-P(F)]
(10)
P(A intersection B)=P(A)P(B|A)
(11)
=P(B)P(A|B)
(12)
P(A^' intersection B)=P(A^')P(B|A^')
(13)
P(E|F)=(P(E intersection F))/(P(F)).
(14)

关系式

P(A intersection B)=P(A)P(B)
(15)

在 A 和 B 是独立事件时成立。一个非常重要的结果指出

P(E union F)=P(E)+P(F)-P(E intersection F),
(16)

它可以推广到

P( union _(i=1)^nA_i)=sum_(i)P(A_i)-sum^'_(ij)P(A_i intersection A_j)+sum^('')_(ijk)P(A_i intersection A_j intersection A_k)-...+(-1)^(n-1)P( intersection _(i=1)^nA_i).
(17)

另请参阅

贝叶斯定理, 条件概率, 可数可加性概率公理, 分布函数, 独立统计量, 似然, 概率公理, 概率密度函数, 概率不等式, 统计分布, 统计学, 均匀分布 在 MathWorld 课堂中探索此主题

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参考文献

Evans, M.; Hastings, N.; and Peacock, B. Statistical Distributions, 3rd ed. New York: Wiley, 2000.Everitt, B. Chance Rules: An Informal Guide to Probability, Risk, and Statistics. Copernicus, 1999.Goldberg, S. Probability: An Introduction. New York: Dover, 1986.Keynes, J. M. A Treatise on Probability. London: Macmillan, 1921.Mises, R. von Mathematical Theory of Probability and Statistics. New York: Academic Press, 1964.Mises, R. von Probability, Statistics, and Truth, 2nd rev. English ed. New York: Dover, 1981.Mosteller, F. Fifty Challenging Problems in Probability with Solutions. New York: Dover, 1987.Mosteller, F.; Rourke, R. E. K.; and Thomas, G. B. Probability: A First Course, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1970.Nahin, P. J. Duelling Idiots and Other Probability Puzzlers. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2000.Neyman, J. First Course in Probability and Statistics. New York: Holt, 1950.Rényi, A. Foundations of Probability. San Francisco, CA: Holden-Day, 1970.Ross, S. M. A First Course in Probability, 5th ed. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1997.Ross, S. M. Introduction to Probability and Statistics for Engineers and Scientists. New York: Wiley, 1987.Ross, S. M. Applied Probability Models with Optimization Applications. New York: Dover, 1992.Ross, S. M. Introduction to Probability Models, 6th ed. New York: Academic Press, 1997.Székely, G. J. Paradoxes in Probability Theory and Mathematical Statistics, rev. ed. Dordrecht, Netherlands: Reidel, 1986.Todhunter, I. A History of the Mathematical Theory of Probability from the Time of Pascal to that of Laplace. New York: Chelsea, 1949.Weaver, W. Lady Luck: The Theory of Probability. New York: Dover, 1963.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

概率

引用为

Weisstein, Eric W. "概率。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Probability.html

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