外代数

外代数是楔积的代数，也称为交错代数或格拉斯曼代数。外代数的研究也称为 Ausdehnungslehre 或扩张演算。外代数是分次代数。

特别地，向量空间的外代数是在自然数 中对 向量空间上的交错微分k-形式的向量空间的直和。这个代数上的积是形式的楔积。向量空间 的外代数是通过形成单项式 、、 等来构造的，其中 、、、、 和 是 中的向量，而 是楔积。由单项式的线性组合形成的和是外代数的元素。

向量空间的外代数也可以描述为商向量空间，

(1)

其中 是由诸如 和 之类的换位生成的 -张量的子空间， 表示向量空间张量积。等价类 表示为 。例如，

(2)

因为代表元加起来是 的一个元素。因此，。有时 称为 的第 外幂，也可以用 表示。

交错积是张量积的子空间。定义线性映射

(3)

通过

(4)

其中 遍历 的所有排列， 是由排列符号给出的排列的符号。那么 是 Alt 的像，因为 是它的零空间。常数因子 （有时不使用）使 Alt 成为投影算子。

例如，如果 具有向量基 ，那么

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且 其中 且 是由 和 张成的向量空间。

空间 通过使用函数 Alt 定义的楔积成为一个代数。此外，如果 是一个线性变换，那么映射 将 发送到 。如果 且 其中 是一个方阵，那么 。

交错代数，也称为外代数， 是一个 维的代数。在Wolfram 语言中，交错代数的元素可以用一个 嵌套的二进制列表表示。例如，1, 2, 0, 0, 3, 0, 4, 5, 表示 。

交错形式的秩有几个不同的定义。在研究微分理想的积分流形时使用的形式的秩是其形式包的维度。另一个定义是其作为张量的秩。

现代几何中的微分k-形式是外代数，并在多元微积分中发挥作用。一般来说，只需要 具有模的结构。因此，外代数出现在表示论中。例如，如果 是群 的群表示，则 是 分解为两个表示。