连续函数

有几种常用的方法来定义连续函数的概念，这个概念虽然有些难以捉摸，但却极其重要（根据上下文，也可能被称为连续映射）。连续函数的空间表示为 ，并且对应于 的 C-k 函数 情况。

连续函数可以正式定义为一个函数 ，其中 中每个开集的原像在 中是开集。更具体地说，单变量 中的函数 在点 处连续，如果

1. 已定义，因此 在 的定义域中。

2. 对于 在 的定义域中存在。

3. ,

其中 lim 表示极限。

许多数学家更喜欢通过所谓的极限的 epsilon-delta 定义来定义函数的连续性。在这种形式体系中，当 接近点 时，函数 的极限 ，

(1)

被定义为：当给定任何 ，可以找到一个 ，使得对于定义域 中以及半径为 的 的邻域内的每个 （可能 本身除外），

(2)

那么如果 在 中且

(3)

被称为在 处连续。

如果 在点 可微，那么它在 也连续。如果两个函数 和 在 处连续，那么

1. 在 处连续。

2. 在 处连续。

3. 在 处连续。

4. 在 处连续，如果 。

5. 假设 在 处连续， 在 处连续，其中 表示 ，即函数 和 的复合。

对于两个变量的函数，连续性的概念稍微复杂一些，如上面函数的图所示

(4)

这个函数在原点处不连续，但在直线 上极限为 0，在 x轴上极限为 1，在 y轴上极限为 (Kaplan 1992, p. 83)。