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对数伽玛函数

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上面的图表显示了通过取 自然对数 的 伽玛函数 得到的值，lnGamma(z)。请注意，这引入了从对数函数继承的复杂的 分支切割 结构。

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因此，伽玛函数的对数有时被视为独立的特殊函数，并与 lnGamma(z) 的定义不同。这个特殊的“对数伽玛”函数在 Wolfram 语言 中实现为LogGamma[z]，如上图所示。可以看出，这两个定义具有相同的实部，但在虚部上差异显著。最重要的是，尽管对数伽玛函数和 lnGamma(z) 作为解析 多值函数 是等价的，但它们具有不同的分支切割结构和不同的主分支，并且对数伽玛函数在整个复数 z-平面上解析，除了沿负 实轴 的单个 分支切割 不连续性。特别地，对数伽玛函数允许简洁地表达许多与 黎曼 zeta 函数 zeta(z) 相关的恒等式。

对数伽玛函数可以定义为

lnGamma(z)=-gammaz-lnz+sum_(k=1)^infty[z/k-ln(1+z/k)].
(1)

（Boros 和 Moll 2004, p. 204）。另一个和由下式给出

lnGamma(z)=(z-1/2)lnz-z+1/2ln(2pi)+1/2sum_(n=2)^infty(n-1))/(n(n+1))zeta(n,z+1)
(2)

（Whittaker 和 Watson 1990, p. 261），其中 zeta(s,a) 是 赫尔维茨 zeta 函数。

比内对数伽玛公式 的第二个是

lnGamma(a)=(a-1/2)lna-a+1/2ln(2pi)+2int_0^infty(tan^(-1)(z/a))/(e^(2piz)-1)dz
(3)

对于 R[a]>0 （Whittaker 和 Watson 1990, p. 251）。lnGamma(z) 的另一个公式由 Malmstén 公式 给出。

lnGamma(x) 的积分包括

int_0^1lnGamma(x)dx=1/2ln(2pi)
(4)
=-zeta^'(0)
(5)
=0.91893...
(6)

（OEIS A075700；Bailey et al. 2007, p. 179），欧拉已知此公式，以及

int_0^1[lnGamma(x)]^2dx=1/(12)gamma^2+1/(48)pi^2+1/6gammaln(2pi)+1/3[ln(2pi)]^2 -[gamma+ln(2pi)](zeta^'(2))/(pi^2)+(zeta^('')(2))/(2pi^2),
(7)

（OEIS A102887；Espinosa 和 Moll 2002, 2004；Boros 和 Moll 2004, p. 203；Bailey et al. 2007, p. 179），其中 gamma 是 欧拉-马歇罗尼常数，zeta^'(z) 是 黎曼 zeta 函数 的导数。

int_0^1[lnGamma(x)]^3dx 由 Espinosa 和 Moll (2006) 考虑，但他们未能建立闭合形式（Bailey et al. 2006, p. 181）。

另一个积分由下式给出

int_0^(1/2)ln[Gamma(x+1)]dx=-1/2-7/(24)ln2+1/4lnpi+3/2lnA,
(8)

其中 A 是 格莱舍-金克林常数 (Glaisher 1878)。

另请参见

Barnes G-函数, 比内对数伽玛公式, 双伽玛函数, 伽玛函数, 对数正弦函数, 对数, Malmstén 公式, 斯特林近似, 斯特林级数

相关的 Wolfram 站点

http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/LogGamma/

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参考文献

Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Calkin, N. J.; Girgensohn, R.; Luke, D. R.; 和 Moll, V. H. Experimental Mathematics in Action. Wellesley, MA: A K Peters, 2007.Boros, G. 和 Moll, V. "The Expansion of the Loggamma Function." §10.6 in Irresistible Integrals: Symbolics, Analysis and Experiments in the Evaluation of Integrals. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 201-203, 2004.Espinosa, O. 和 Moll, V. "On Some Definite Integrals Involving the Hurwitz Zeta Function. Part I." Ramanujan J. 6, 159-188, 2002.Espinosa, O. 和 Moll, V. "A Generalized Polygamma Function." Integral Transforms Spec. Funct. 15, 101-115, 2004.Espinosa, O. 和 Moll, V. "The Evaluation of Tornheim Double Sums. I." J. Number Th. 116, 200-229, 2006.Glaisher, J. W. L. "On the Product 1^1.2^2.3^3...n^n." Messenger Math. 7, 43-47, 1878.Sloane, N. J. A. Sequences A075700 和 A102887 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Whittaker, E. T. 和 Watson, G. N. A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990.

在 Wolfram|Alpha 中引用

对数伽玛函数

请引用为

Weisstein, Eric W. "对数伽玛函数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/LogGammaFunction.html

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