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反常积分

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反常积分是指定积分，其积分限为无穷大或被积函数在积分范围内的某一点或多点趋于无穷大。反常积分不能使用标准的黎曼积分计算。

例如，以下积分

int_1^inftyx^(-2)dx
(1)

是一个反常积分。某些此类积分有时可以通过用有限值替换无穷积分限来计算

int_1^yx^(-2)dx=1-1/y
(2)

然后取极限，当 y->infty,

int_1^inftyx^(-2)dx=lim_(y->infty)int_1^yx^(-2)dx
(3)
=lim_(y->infty)1-1/y
(4)
=1.
(5)

形式为反常积分

int_a^bf(x)dx
(6)

当一个积分限为无穷大，另一个非零时，也可以表示为变换函数上的有限积分。如果 f(x) 至少以 1/x^2 的速度减小，则令

t=1/x
(7)
dt=-(dx)/(x^2)
(8)
dx=-x^2dt
(9)
=-(dt)/(t^2),
(10)

和

int_a^bf(x)dx=-int_(1/a)^(1/b)1/(t^2)f(1/t)dt
(11)
=int_(1/b)^(1/a)1/(t^2)f(1/t)dt.
(12)

如果 f(x) 以 (x-a)^gamma 的形式发散，其中 gamma in [0,1] 中，则令

x=t^(1/(1-gamma))+a
(13)
dx=1/(1-gamma)t^((1/1-gamma)-1)dt
(14)
=1/(1-gamma)t^([1-(1-gamma)]/(1-gamma))dt
(15)
=1/(gamma-1)t^(gamma/(1-gamma))dt
(16)
t=(x-a)^(1-gamma),
(17)

和

int_a^bf(x)dx=1/(1-gamma)=int_0^((b-a)^(1-gamma))t^(gamma/(1-gamma))f(t^(1/(1-gamma))+a)dt.
(18)

如果 f(x) 以 (x+b)^gamma 的形式发散，其中 gamma in [0,1] 中，则令

x=b-t^(1/(1-gamma))
(19)
dx=-1/(gamma-1)t^(gamma/(1-gamma))dt
(20)
t=(b-x)^(1-gamma),
(21)

和

int_a^bf(x)dx=1/(1-gamma)
(22)
=int_0^((b-a)^(1-gamma))t^(gamma/(1-gamma))f(b-t^(1/(1-gamma)))dt.
(23)

如果积分呈指数发散，则令

t=e^(-x)
(24)
dt=-e^(-x)dx
(25)
x=-lnt,
(26)

和

int_a^inftyf(x)dx=int_0^(e^(-a))f(-lnt)(dt)/t.
(27)

另请参阅

定积分, 积分, 正常积分, 奇异积分

使用 探索

参考文献

Jeffreys, H. and Jeffreys, B. S. "Infinite and Improper Integrals." §1.104 in 数学物理方法，第 3 版 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 33-34, 1988.Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; and Vetterling, W. T. "Improper Integrals." §4.4 in FORTRAN 数值食谱：科学计算的艺术，第 2 版 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 135-140, 1992.

在 中被引用

反常积分

请按如下方式引用

Weisstein, Eric W. "反常积分。" 来自 网络资源。 https://mathworld.net.cn/ImproperIntegral.html

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