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瓦尔迪积分

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瓦尔迪积分是一个优美的定积分

int_(pi/4)^(pi/2)lnlntanxdx=pi/2ln[sqrt(2pi)(Gamma(3/4))/(Gamma(1/4))]
(1)
=pi/4ln[(4pi^3)/(Gamma^4(1/4))]
(2)
=-0.2604428063009...
(3)

(OEIS A115252; Gradshteyn and Ryzhik 1980, p. 532; Bailey et al. 2007, p. 160; Moll 2006)，其中 Gamma(z) 是伽玛函数。

与此类似的其他例子包括

int_0^1lnln(1/x)(dx)/(1+x+x^2)=pi/(sqrt(3))ln[(2pi^(5/6))/(Gamma(1/6))]
(4)
int_0^1lnln(1/x)(dx)/(1-x+x^2)=pi/(sqrt(3))ln[(32pi^5)/(Gamma^6(1/6))]
(5)

(Vardi 1988; Gradshteyn and Ryzhik 1980, pp. 571-572)。

另请参阅

定积分

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参考文献

Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Calkin, N. J.; Girgensohn, R.; Luke, D. R.; 和 Moll, V. H. 实验数学实践。 Wellesley, MA: A K Peters, 2007.Bierens de Haan, D. 新定积分表。 Amsterdam, 1867.Gradshteyn, I. S. 和 Ryzhik, I. M. 积分、级数与乘积表，第 4 版。 San Diego, CA: Academic Press, 1980.Moll, V. H. "关于定积分求值的一些问题。" MAA Short Course, San Antonio, TX. 1 月. 2006. http://crd.lbl.gov/~dhbailey/expmath/maa-course/Moll-MAA.pdf.Sloane, N. J. A. 数列 A115252 在 "整数数列线上百科全书" 中。Vardi, I. "积分，解析数论导论。" Amer. Math. Monthly 95, 308-315, 1988.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

瓦尔迪积分

请引用为

韦斯坦因，埃里克·W. "瓦尔迪积分。" 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/VardisIntegral.html

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