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无穷余弦乘积积分

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17岁时，伯纳德·马雷斯提出了定积分 (Borwein and Bailey 2003, p. 26; Bailey et al. 2006)

C_2=int_0^inftycos(2x)product_(n=1)^(infty)cos(x/n)dx
(1)
=0.39269908169...
(2)

(OEIS A091473)。虽然这在 10^(-42) 的 pi/8 范围内，

1/8pi-C_2=7.407346566316950557...×10^(-43)
(3)

(OEIS A091494)，但它不等于它。 显然，C_2 尚无已知的闭式解。

有趣的是，积分

C_0=int_0^inftyproduct_(n=1)^(infty)cos(x/n)dx
(4)
=0.78538...
(5)

(Borwein et al. 2004, pp. 101-102) 的值非常接近 pi/4=0.78539...，但对于 cos(nx) 或 sin(nx) 形式的其他乘数，似乎没有其他类似的关系成立。

恒等式

sinc(x)=product_(k=1)^inftycos(x/(2^l))
(6)

可以展开得到

product_(k=0)^inftysinc((2x)/(2k+1))=product_(n=1)^inftycos(x/n).
(7)

事实上，

C_0=pi/2lim_(n->infty)(2n+1)!!I_(2n+1),
(8)

其中 I_(2n+1) 是一个 博尔温积分。

另请参阅

博尔温积分

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参考文献

Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Kapoor, V.; and Weisstein, E. W. "Ten Problems in Experimental Mathematics." Amer. Math. Monthly 113, 481-509, 2006b.Borwein, J. and Bailey, D. Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century. Wellesley, MA: A K Peters, 2003.Borwein, J.; Bailey, D.; and Girgensohn, R. Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery. Wellesley, MA: A K Peters, 2004.Sloane, N. J. A. Sequences A091473 and A091494 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Trott, M. "The Mathematica Guidebooks Additional Material: Infinite Cosine Product Integral." http://www.mathematicaguidebooks.org/additions.shtml#N_2_01.

在 Wolfram|Alpha 中引用

无穷余弦乘积积分

请引用为

Eric W. Weisstein "无穷余弦乘积积分。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/InfiniteCosineProductIntegral.html

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