Lambert W 函数

Lambert -函数，也称为 omega 函数，是反函数，其原函数为：

(1)

上图显示了该函数在实轴上的图像。Lambert -函数的主值在 Wolfram 语言中实现为ProductLog[z]。该函数的不同分支在 Wolfram 语言中可用，表示为ProductLog[k, z]，其中是任意整数，对应于主值。虽然未记录在案，LambertW[k, z] 自动求值为ProductLog[k, z] 在 Wolfram 语言中。

Lambert (1758) 考虑了以下方程的解

(2)

现在被称为兰伯特超越方程。1764 年，当兰伯特从苏黎世搬到柏林时，欧拉听说了兰伯特的论文。在 1770/1771 年关于一些相关级数展开优先权的私人争论之后，欧拉 (1783) 写了一篇关于兰伯特超越方程的论文，其中他介绍了一个特殊情况，简化为，这几乎是的定义，尽管欧拉建议定义的函数更像。欧拉在这篇论文中考虑了级数解，并在第一段明确引用兰伯特是第一个考虑这个方程的人。

Eisenstein (1844) 考虑了无穷幂塔的级数

(3)

它可以表示为闭合形式：

(4)

Pólya 和 Szegö (1925) 是第一个使用符号表示兰伯特函数的人。

Banwell 和 Jayakumar (2000) 表明，-函数描述了二极管中电压、电流和电阻之间的关系，Packel 和 Yuen (2004) 将 -函数应用于存在空气阻力的弹道射弹。在统计力学、量子化学、组合数学、酶动力学、视觉生理学、薄膜工程、水文学和算法分析中也发现了其他应用 (Hayes 2005)。

	最小值	最大值
实部
虚部

上图显示了复平面中的 Lambert -函数。

上图显示了在复平面上的解析延拓的实部（左）和虚部（右）（M. Trott，私人通信）。

当的时，为实数。它具有以下特殊值：

			(5)
			(6)
			(7)
			(8)

(OEIS A030178) 称为 omega 常数，可以被认为是指数的某种“黄金比例”，因为

(9)

给出

(10)

Lambert -函数服从以下恒等式：

(11)

（R. Corless 给 O. Marichev 的私人通信，2015 年 9 月 29 日）。

	最小值	最大值
实部
虚部

函数在复平面中具有非常复杂的结构，但对于以及实轴上方和下方略微扩展的区域，它简单地等于 1。

Lambert -函数具有以下级数展开式：

			(12)
			(13)

拉格朗日反演定理给出了等价的级数展开式：

(14)

其中是一个阶乘。然而，对于实数，此级数在越来越大的正值和负值之间振荡，因此不能用于实际的数值计算。

对于，一个渐近公式可以产生相当精确的结果：

			(15)
			(16)

其中

			(17)
			(18)

（Corless et al. 1996），纠正了 de Bruijn (1981) 中的一个印刷错误。Gosper (私人通信，1996 年 7 月 22 日) 的另一个展开式是双重级数：

$W(x)=a+sum_(n=0)^infty{sum_(k=0)^n(S_1(n,k))/([ln(x/a)-a]^(k-1)(n-k+1)!)}[1-(ln(x/a))/a]^n,$

(19)

其中是非负第一类斯特林数，是可以用于在分支之间进行选择的第一个近似值。对于，Lambert -函数是双值的。对于，该函数表示为或简称为，这称为主分支。对于，该函数表示为。的导数为

			(20)
			(21)

对于。对于时的主分支，

(22)

Lambert -函数的第阶导数由下式给出：

(23)

其中是数三角形

1
-2 -1
9 8 2
-64 -79 -36 -6
625 974 622 192 24

(24)

（OEIS A042977）。这具有指数生成函数：

			(25)
			(26)

另请参阅

Abel 多项式, 位移常数, 兰伯特超越方程, Omega 常数, 幂塔

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更多尝试

参考文献

Banwell, T. C. and Jayakumar, A. "Exact Analytical Solution for Current Flow Through Diode with Series Resistance." Electronics Lett. 36, 291-292, 2000.Barry, D. J., Culligen-Hensley, P. J.; and Barry, S. J. "Real Values of the

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