多边形数

多边形数是一种 具形数，它是 三角形数、正方形数等的推广，推广到 边形，其中 是任意正整数。上面的图表以图形方式说明了多边形数的构建过程。从第 个 三角形数 开始，然后

(1)

现在请注意

(2)

给出第 个 正方形数，

(3)

给出第 个 五边形数，依此类推。一般多边形数可以写成以下形式

			(4)
			(5)

其中 是第 个 边形数 (Savin 2000)。例如，在 (5) 中取 得到一个 三角形数， 得到一个 正方形数，等等。

多边形数在 Wolfram 语言中实现为PolygonalNumber.

如果一个数是 -高度多边形数，如果它是 -多边形数，且有多于等于 种方式（从 , 4, ... 到某个上限）。那么，直到 的前几个 2-高度多边形数是 1, 6, 9, 10, 12, 15, 16, 21, 28, (OEIS A090428)。类似地，直到 的前几个 3-高度多边形数是 1, 15, 36, 45, 325, 561, 1225, 1540, 3025, ... (OEIS A062712)。除了 1 之外，没有小于 的这种类型的 4-高度多边形数。

第 边形数的生成函数由以下优美的公式给出

(6)

费马提出，每个数都可以表示为最多 个 -多边形数的和（费马多边形数定理）。费马声称拥有此结果的证明，尽管该证明从未被发现。雅可比、拉格朗日（1772 年）和欧拉都证明了平方的情况，而高斯在 1796 年证明了三角形的情况。1813 年，柯西完全证明了该命题。

可以按如下方式检查任意数字 是否为 -多边形数。注意恒等式

(7)

因此， 必须是一个 完全平方数。因此，如果它不是，则该数字不可能是 -多边形数。如果它是一个 完全平方数，那么解

(8)

对于阶数 ，得到

(9)

一个 -多边形数等于相同统计阶数的 -多边形数与前一个统计阶数的三角形数之和。