一个同时是 五边形数 
和 三角形数 
的数字。当满足以下条件时，这样的数字存在
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(1)
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配方 得到
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(2)
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代入 
和 
得到类 Pell 二次丢番图方程
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(3)
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其解为 
, (19, 11), (71, 41), (265, 153), .... 用 
表示，这些解给出 (1, 1), (10/3,5), (12, 20), (133/3, 76), (165, 285), ..., 其中整数解为 
, (12, 20), (165, 285), (2296, 3976), ... （OEIS A046174 和 A046175），对应于五边形三角数 1, 210, 40755, 7906276, 1533776805, ... （OEIS A014979）。
