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Pronic 数

Pronic 数是 有形数，形式为 P_n=2T_n=n(n+1)，其中 T_n 是第 n 个 三角形数。 前几个是 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110, ... (OEIS A002378)。 pronic 数的 生成函数 是

(2x)/((1-x)^3)=2x+6x^2+12x^3+20x^4+....

Kausler (1805) 是最早制表 pronic 数的人之一，创建了一个列表，直到 n=1000 (Dickson 2005, Vol. 1, p. 357; Vol. 2, p. 233)。

Pronic 数也称为矩形数 (Merzbach and Boyer 1991, p. 50) 或异面数。 然而，“pronic”似乎是 “promic” 的拼写错误（源自希腊语 promekes，意思是矩形的、扁圆的或长方形的）。 然而，欧拉本人也使用了“pronic”这个术语，因此在为时已晚的今天试图“纠正”它似乎是不可取的。

McDaniel (1998ab) 证明唯一的 pronic 斐波那契数是 F_0=0 和 F_3=2，唯一的 pronic 卢卡斯数是 L_0=2，重新发现了 Ming (1995) 首次发表的结果。

前几个 n 使得 P_n 是 回文数 的是 1, 2, 16, 77, 538, 1621, ... (OEIS A028336)，前几个是 pronic 数的 回文数 是 2, 6, 272, 6006, 289982, ... (OEIS A028337)。

另请参阅

有形数, 奇数, 三角形数

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参考文献

De Geest, P. "Palindromic Products of Two Consecutive Integers." http://www.worldofnumbers.com/consec.htm.Dickson, L. E. History of the Theory of Numbers, Vol. 1: Divisibility and Primality. New York: Dover, p. 357, 2005a.Dickson, L. E. History of the Theory of Numbers, Vol. 2: Diophantine Analysis. New York: Dover, pp. 6, 232-233, 350, and 407, 2005b.Euler, L. Republished in Euler, L. Opera Omnia, Ser. 1: Opera mathematica, Vol. 15. Basel, Switzerland: Birkhäuser, 1992.Guy, R. K. "The Second Strong Law of Small Numbers." Math. Mag 63, 3-20, 1990.Kausler, C. F. Nova Acta Acad. Petrop. 14, 268-289, ad annos 1797-8, 1805.McDaniel, W. L. "Pronic Fibonacci Numbers." Fib. Quart. 36, 56-59, 1998a.McDaniel, W. L. "Pronic Lucas Numbers." Fib. Quart. 36, 60-62, 1998b.Merzbach, U. C. and Boyer, C. B. A History of Mathematics, 3rd ed. New York: Wiley, p. 50, 1991.Ming, L. "Nearly Square Numbers in the Fibonacci and Lucas Sequences" [Chinese]. J. Chongqing Teachers College, No. 4, 1-5, 1995.Sloane, N. J. A. Sequences A002378/M1581, A028336, and A028337 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

在 Wolfram|Alpha 上引用

Pronic 数

引用为

Weisstein, Eric W. “Pronic Number.” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/PronicNumber.html

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