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五边形数

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PentagonalNumber

形如 多边形数 形式为 n(3n-1)/2 的数。前几个是 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, ... (OEIS A000326)。五边形数的生成函数是

(x(2x+1))/((1-x)^3)=x+5x^2+12x^3+22x^4+....

每个五边形数都是三角形数的 1/3。

所谓的广义五边形数由 n(3n-1)/2 给出，其中 n=0, +/-1, +/-2, ..., 前几个是 0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, ... (OEIS A001318)。

据推测，恰好有 210 个正整数不能用三个五边形数表示，即 4, 8, 9, 16, 19, 20, 21, 26, 30, 31, 33, 38, 42, 43, 50, 54, ..., 20250, 33066, (OEIS A007527; Guy 1994a)。

有六个正整数不能用四个五边形数表示：9, 21, 31, 43, 55 和 89 (OEIS A133929)。

所有正整数都可以用五个五边形数表示。

令 x_i 为与 6 互质 的数的集合，广义五边形数由 (x_i^2-1)/24 给出。此外，令 y_i 为 x_i 的子集，其中 x_i=5 (mod 6)，通常的五边形数由 (y_i^2-1)/24 给出 (D. Terr, 私人通信, 2004 年 5 月 20 日)。

另请参阅

七边形五边形数, 六边形五边形数, 八边形五边形数, 分拆函数 P, 五边形数定理, 五边形平方数, 五边形三角形数, 多边形数, 三角形数

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参考文献

Guy, R. K. "每个数都可以表示为多少个多边形数的和？" Amer. Math. Monthly 101, 169-172, 1994a.Guy, R. K. "平方和。" §C20 in 数论中未解决的问题，第二版 New York: Springer-Verlag, pp. 136-138, 1994b.Pappas, T. "三角形数、正方形数和五边形数。" 数学之乐。 San Carlos, CA: Wide World Publ./Tetra, p. 214, 1989.Silverman, J. H. 数论友好导论。 Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1996.Sloane, N. J. A. 序列 A000326/M3818, A001318/M1336, A003679/M3323, 和 A133929 在 "整数序列在线百科全书" 中。

在 Wolfram|Alpha 上被引用

五边形数

引用为

Weisstein, Eric W. "五边形数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/PentagonalNumber.html

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