保龄球

保龄球，在世界大部分地区被称为“十瓶制”，是一种通过滚动重球沿狭长球道，试图击倒排列成三角形（顶点朝向保龄球手）的十个球瓶的游戏。10 个保龄球瓶的排列方式是四面体，也是三角形数 。

每“局”最多允许投掷两个球（或“滚球”），一场比赛由十局组成（最后一局球的数量有特殊规则）。如果在第一球击倒所有球瓶，结果称为“全中”，该局不再奖励第二球（除非在第十局也是最后一局获得全中的情况下，在这种情况下奖励两个额外的球），并且计分是 10 分加上接下来两球击倒的球瓶数。如果在第一球投掷后击倒部分或没有击倒球瓶，则奖励第二球。如果在第二球击倒所有剩余球瓶，结果称为“补中”，并且计分是 10 分加上下一球投掷击倒的球瓶数。如果在每局投掷两个球后，所有球瓶没有被击倒，则该局的得分按击倒的球瓶总数计算。

比赛共进行十局，除非最后一局包含全中或补中，在这种情况下会奖励额外的一球。

可能的最大分数，对应于 12 次全中，是 300 分。

可能的保龄球比赛总数非常庞大；第一局第一球有 11 种可能性（洗沟、1、2、...、9、全中），并且在其他九局中的每一局都存在相同的可能性。因此，在不考虑每局的第二球的情况下，至少有 (Balmoral Software)。事实上，由于每局第二球的影响，实际的比赛数量要大得多。可能的比赛总数是

(Cooper 和 Kennedy 1990)。

定义集合

和矩阵

那么，对应于得分 的比赛数量的生成函数由下式给出

其中 是 矩阵中的条目

(Cooper 和 Kennedy 1990)。

得分为 , 1, 2, 3, 4, 5 的可能比赛数量为：1, 20, 210, 1540, 8855, 42504, ... (OEIS A060853；Cooper 和 Kennedy 1990)。从上图可以看出，可能比赛数量作为 函数的分布并非完全围绕其最大值对称。最佳拟合高斯分布由下式给出

其中 , , 和 （上方虚线蓝色曲线）。

平均得分由下式给出

(Cooper 和 Kennedy 1990)。得分 的众数是 。对于 , 289, ..., 300，总数分别为 12, 11, 11, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1。

具有相同可能投掷方式的分数总结在下表中。