圆堆积

圆堆积是指在给定边界内排列圆，使得没有两个圆重叠，并且一些（或全部）圆彼此相切。推广到球体称为球体堆积。密铺正多边形对应于特定的圆堆积（Williams 1979，第 35-41 页）。在离散共形映射的背景下，存在完善的圆堆积理论（Stephenson）。

平面上最密集的圆堆积是蜂巢的六边形网格（右图；Steinhaus 1999，第 202 页），其堆积密度为

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（OEIS A093766；Wells 1986，第 30 页）。高斯证明了六边形网格是平面最密集的网格堆积，1940 年，L. Fejes Tóth 证明了六边形网格确实是所有可能的平面堆积中最密集的。

令人惊讶的是，圆形圆盘不是平面堆积中最不经济的区域。 “最差”的堆积形状尚不清楚，但在中心对称平面区域中，推测的候选者是所谓的平滑八边形。

Wells（1991，第 30-31 页）考虑了在单位球体表面上堆积个相同圆的最大可能尺寸。

使用离散共形映射，单位圆内部上述堆积中圆的半径可以确定为多项式方程的根

(2)

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其中

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下表给出了对应于正规和半正规平面密铺的圆堆积的堆积密度（Williams 1979，第 49 页）。

密铺	精确值	近似值
		0.9069
		0.7854
		0.6046
		0.8418
		0.8418
		0.6802
		0.7773
		0.3907
		0.5390
		0.7290
		0.4860

对于可以将个单位直径圆堆积进去的最小直径圆的解，对于到 10 已经被证明是最佳的（Kravitz 1967）。最佳已知结果总结在下表中，前几个案例在上面进行了说明（Friedman）。

	精确值	近似值
1	1	1.00000
2	2	2.00000
3		2.15470...
4		2.41421...
5		2.70130...
6	3	3.00000
7	3	3.00000
8		3.30476...
9		3.61312...
10		3.82...
11
12		4.02...

下表给出了将个相等圆堆积到单位正方形内部的最密集堆积的圆的直径，其中前几个在上面进行了说明（Friedman）。所有到 20 的解（以及所有的解）已被证明是最佳的（Friedman）。Peikert (1994) 使用了一种归一化，其中直径为的个圆的中心被堆积到边长为 1 的正方形中。 Friedman 让圆具有单位半径，并给出最小的正方形边长。 Friedman 给出了到 25 个圆的解析的表格和图表。 Nurmela 和 Östergård (1997) 给出了最佳堆积的坐标。


1	1	1.000000
2		0.585786		1.414214
3		0.508666		1.035276
4		0.500000	1	1.000000
5		0.414214		0.707107
6		0.375361		0.600925
7		0.348915		0.535898
8		0.341081		0.517638
9		0.333333		0.500000
10		0.296408		0.421280

将两个单位圆（其中一个被弦分割成两部分）堆积进去的最小正方形尚不清楚（Goldberg 1968，Ogilvy 1990）。

上面显示了前几个案例的等边三角形中圆的最佳已知堆积（Friedman）。

另请参见

圆覆盖、笛卡尔圆定理、四枚硬币问题、超球体堆积、马尔法蒂问题、梅尔格良定理、刚性圆堆积、算额问题、平滑八边形、索迪圆、球体堆积、正方形堆积、相切圆、三角形堆积、晶胞

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参考文献

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在 Wolfram|Alpha 上引用

圆堆积

请引用为

Weisstein，Eric W. "圆堆积。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/CirclePacking.html