月牙形

月牙形是由两个不等半径的圆弧界定的平面图形，即新月形。（相比之下，由两个相等半径的圆弧界定的平面图形称为透镜形。）对于半径为 和 的圆，其中心距离为 ，月牙形的面积由下式给出

(1)

其中

(2)

是边长为 、 和 的三角形的面积。第二个公式可以直接通过减去两个半透镜形的面积获得，它们的差值产生了上述彩色区域。

在上图的每个图形中，月牙形的面积等于所示三角形的面积。基俄斯的希波克拉底斯在公元前五世纪对上述左侧月牙形进行了化方（Dunham 1990，第 19-20 页；Wells 1991，第 143-144 页），以及另外两个。T. 克劳森在 19 世纪又发现了两个可化方月牙形（Shenitzer 和 Steprans 1994；Dunham 1990 将这些发现归功于 1771 年的欧拉）。在 20 世纪，N. G. 切巴塔列夫和 A. W. 多罗德诺夫证明了这五个是仅有的可化方月牙形（Shenitzer 和 Steprans 1994）。

希波克拉底斯还证明了，在上图中，两个彩色月牙形的面积之和等于三角形的面积（Pappas 1989，第 72-73 页）。单独地，月牙形的面积为

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其中三角形水平边和垂直边的长度分别为 和 。