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帕普斯链

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PappusChain

从与构成曲边弓形的三个半圆相切的圆 P_1 开始，构造一系列相切圆 P_i，所有这些圆都与两个较小的内圆之一以及较大的外圆相切。这个链被称为帕普斯链（左图）。

在帕普斯链中，从第一个内切圆 P_1 的圆心到底线的距离是圆的半径的两倍，从第二个圆 P_2 的圆心到底线的距离是半径的四倍，对于第 n 个圆 P_n，这个距离是半径的 2n 倍。此外，圆 P_i 的圆心位于一个椭圆上（右图）。

如果 r=AB/AC，那么帕普斯链中第 n 个圆 P_n 的圆心和半径是

x_n=(r(1+r))/(2[n^2(1-r)^2+r])
(1)
y_n=(nr(1-r))/(n^2(1-r)^2+r)
(2)
r_n=((1-r)r)/(2[n^2(1-r)^2+r]).
(3)

这个一般结果简化为 r_n=1/(6+n^2) 对于 r=2/3 (Gardner 1979)。Gaba (1940) 考虑了当 AC=1+AB 时的进一步特殊情况。

PappusCircle

第一个圆的切点位置是

x_A=r/((1-r)^2)
(4)
y_A=(r(1-r))/((1-r)^2)
(5)
x_B=(r(1+r))/(1+r^2)
(6)
y_B=(r(1-r))/(1+r^2)
(7)
x_C=(r^2)/(1-2r+2r^2)
(8)
y_C=(r(1-r))/(1-2r+2r^2).
(9)

第 n 个圆 P_n 的直径由曲边弓形底边的垂直距离的 (1/n) 分之一给出。帕普斯知道这个结果，他称之为古代定理 (Hood 1961, Cadwell 1966, Gardner 1979, Bankoff 1981)。请注意，这也适用于从 P_1 开始并与曲边弓形的两个内半圆相切的相切圆链。最简单的证明是通过反演几何。

从 n 的方程中消去 x_n 和 y_n，圆 P_n 的圆心 (x_n,y_n) 给出

4rx^2-2r(1+r)x+(1+r)^2y^2=0.
(10)

完成平方得到

4r[x-1/4(1+r)]^2+(1+r^2)y^2=1/4r(1+r)^2,
(11)

可以重新排列为

[(x-1/4(1+r))/(1/4(1+r))]^2+(y/(1/2sqrt(r)))^2=1,
(12)

这仅仅是一个椭圆的方程，其中心为 ((1+r)/4,0)，半长轴和半短轴分别为 (1+r)/4 和 sqrt(r)/2。由于

c=sqrt(a^2-b^2)=1/4(1-r),
(13)

(1+r)/4+/-c=r/2 和 1/2，因此椭圆的焦点位于界定链的半圆的中心。

PappusTangentChain

与第一个曲边弓形半圆和相邻帕普斯圆 P_(n-1) 和 P_n 相切的圆 T_n 的位置和大小为

x_n^'=(r(7+r))/(2[4+4n(n-1)(1-r)^2+r(r-1)])
(14)
y_n^'=(2(2n-1)r(1-r))/(4+4n(n-1)(1-r)^2+r(r-1))
(15)
r_n^'=(r(1-r))/(2[4+4n(n-1)(1-r)^2+r(r-1)]).
(16)

日本寺庙算题 (算额问题) 在 1788 年东京府考虑了 r=1/2（给出形成曲边弓形的等圆）的这个问题的特殊情况 (Rothman 1998)。在这种情况下，解简化为

x_n^'=(15)/(2(15-4n+4n^2))
(17)
y_n^'=(2(2n-1))/(15-4n+4n^2)
(18)
r_n^'=1/(2(15-4n+4n^2)).
(19)
PappusTangentChain2

此外，也可以分析找到围绕这个圆的三个相切圆的位置和半径，并由下式给出

x_n^((1))=(r(17+r))/(2[12+3n(3n-4)(1-r)^2+r(4r-7)])
(20)
y_n^((1))=(3(3n-2)(1-r)r)/(12+3n(3n-4)(1-r)^2+r(4r-7))
(21)
r_n^((1))=(r(1-r))/(2[12+3n(3n-4)(1-r)^2+r(4r-7)])
(22)
x_n^((2))=(r(17+r))/(2[9+3n(3n-2)(1-r)^2-r(1-r)])
(23)
y_n^((2))=(3(3n-1)(1-r)r)/(9+3n(3n-2)(1-r)^2-r(1-r))
(24)
r_n^((2))=(r(1-r))/(2[9+3n(3n-2)(1-r)^2-r(1-r)])
(25)
x_n^((3))=(r(17+7r))/(2[9+12n(n-1)(1-r)^2+r(4r-1)])
(26)
y_n^((3))=(6(2n-1)(1-r)r)/(9+12n(n-1)(1-r)^2+r(4r-1))
(27)
r_n^((3))=(r(1-r))/(2[9+12n(n-1)(1-r)^2+r(4r-1)]).
(28)

如果 B 以黄金比例 phi 分割 AC，那么链中的圆满足许多其他特殊性质 (Bankoff 1955)。

在每个 曲边弓形 中，都有两个帕普斯链 P_i 和 P_i^'，其中 P_1=P_1^'。对于固定的 n，连接 P_n 和 P_n^' 的中心的线穿过曲边弓形的两个较小半圆的外部相似中心 S。连接 P_n 和 P_(n+1) 的切点以及 P_n^' 和 P_(n-1)^' 的切点的线也穿过 S。同样，连接 P_n 和大的外部半圆（较小的内部半圆）的切点以及 P_n^' 和大的外部半圆（较小的内部半圆）的切点的线也穿过 S。这可以用圆反演证明。特别地，由于 P_1=P_1^'，P_1 和大的外部半圆的公切线穿过 S。

另请参阅

曲边弓形, 考克斯特等角相切圆序列, 帕普斯质心定理, 帕普斯调和定理, 帕普斯六边形定理, 六圆定理, 索迪圆, 施泰纳链

本条目部分内容由 Floor van Lamoen 贡献

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参考文献

Bankoff, L. "The Golden Arbelos." Scripta Math. 21, 70-76, 1955.Bankoff, L. "Are the Twin Circles of Archimedes Really Twins?" Math. Mag. 47, 214-218, 1974.Bankoff, L. "How Did Pappus Do It?" In The Mathematical Gardner (Ed. D. Klarner). Boston, MA: Prindle, Weber, and Schmidt, pp. 112-118, 1981.Cadwell, J. H. Topics in Recreational Mathematics. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1966.Casey, J. A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid, Containing an Easy Introduction to Modern Geometry with Numerous Examples, 5th ed., rev. enl. Dublin: Hodges, Figgis, & Co., p. 103, 1888.Gaba, M. G. "On a Generalization of the Arbelos." Amer. Math. Monthly 47, 19-24, 1940.Gardner, M. "Mathematical Games: The Diverse Pleasures of Circles that Are Tangent to One Another." Sci. Amer. 240, 18-28, Jan. 1979.Hood, R. T. "A Chain of Circles." Math. Teacher 54, 134-137, 1961.Johnson, R. A. Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin, p. 117, 1929.Rothman, T. "Japanese Temple Geometry." Sci. Amer. 278, 85-91, May 1998.Steiner, J. Jacob Steiner's gesammelte Werke, Band I. Bronx, NY: Chelsea, p. 47, 1971.

在 Wolfram|Alpha 中引用

帕普斯链

请引用为

van Lamoen, Floor 和 Weisstein, Eric W. “帕普斯链。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/PappusChain.html

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