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欧拉数三角形

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数字三角形 A_(n,k) 由下式给出

A_(n,1)=A_(n,n)=1
(1)

和 递推关系

A_(n+1,k)=kA_(n,k)+(n+2-k)A_(n,k-1)
(2)

对于 k in [2,n]，其中 A_(n,k) 是移位的 欧拉数，即，

<1; 0> <2; 0> <2; 1> <3; 0> <3; 1> <3; 2> <4; 0> <4; 1> <4; 2> <4; 3>
(3)
1 1 1 1 4 1 1 11 11 1 1 26 66 26 1 1 57 302 302 57 1 1 120 1191 2416 1191 120 1
(4)

(OEIS A008292)。注意，各行之和为连续的阶乘 1=1!, 1+1=2!, 1+4+1=3!, 1+11+11+1=4!, ....

Binary plot of Euler's number triangle

上面的图表显示了扁平化欧拉数三角形的前 255 项（上图）和 511 项（下图）的二进制表示。

令人惊讶的是，Z 变换 {n^k}_(k=1)^N 是欧拉数三角形前 N 行的生成器，当变换的第 i 项首先通过乘以 (z-1)^(i+1) 清除其分母时。例如，

Z[{n^k}_(k=1)^3={z/((z-1)^2),(z+z^2)/((z-1)^3),(z+4z^2+z^3)/((z-1)^4)}.
(5)

另请参阅

克拉克三角形, 欧拉数, 莱布尼茨调和三角形, 洛萨尼奇三角形, 数三角形, 帕斯卡三角形 , 二阶欧拉三角形, 赛德尔-恩特林格-阿诺德三角形, 球面三角形, Z 变换

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参考文献

Sloane, N. J. “整数序列在线百科全书”中的序列 A008292。

在 Wolfram|Alpha 上被引用

欧拉数三角形

请引用为

Weisstein, Eric W. “欧拉数三角形”。来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/EulersNumberTriangle.html

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