主题
Search

Stolarsky-Harborth 常数

下载 Mathematica 笔记本下载 Wolfram 笔记本

设 b(k) 为 二进制 表达式中 1 的个数 k，即二进制 数字计数 1，对于 k=1, 2, ...，给出 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, ... (OEIS A000120)。那么 奇数 二项式系数 (k; j) 其中 0<=j<=k 的数量是 2^(b(k)) (Glaisher 1899, Fine 1947)。这意味着 奇数 元素在 帕斯卡三角形 的前 n 行中的数量是

f_n=sum_(k=0)^(n-1)2^(b(k)),
(1)

前几项为 1, 3, 5, 9, 11, 15, 19, 27, 29, 33, ... (OEIS A006046)。

这个序列的项由以下递推关系给出

f_n={3f_(n/2) for n even; 2f_((n-1)/2)+f_((n+1)/2) for n odd
(2)

其中 f_0=0 且 f_1=1。当 n 为 2 的幂时，特殊情况给出

f(2^k)=3^k.
(3)
Stolarsky-HarborthConstant

从方程 (3) 中获得启发，函数 f_n 可以很好地近似为 n^theta，其中

theta=log_23=(ln3)/(ln2)=1.58496...
(4)

(OEIS A020857)。此外，f_n/n^theta 在最小值接近 0.81... 和最大值 1 之间以类似分形的方式振荡，如上图所示。Stolarsky (1977) 和 Harborth (1977) 研究了 f_n/n^theta 的渐近行为。定义

alpha=limsup_(n->infty)(f_n)/(n^theta)
(5)
beta=liminf_(n->infty)(f_n)/(n^theta),
(6)

其中 lim inf 是 下极限，lim sup 是 上极限。Stolarsky (1977) 证明了

1<=alpha<=1.052 0.72<=beta<=(9/7)(3/4)^theta<=0.815
(7)

并推测

alpha=1
(8)
beta=(9/7)(3/4)^theta=3^theta/7=0.814931
(9)

(Harborth 1977, Stolarsky 1977)。Harborth (1977) 随后证明了 alpha=1，但 Finch 称之为 Stolarsky-Harborth 常数的 beta 的正确值等于 beta=0.812556。更精确的值是

beta=0.81255655901600638769...
(10)

(OEIS A077464)。

Stolarsky-HarborthMinima

这个常数的值可以通过检查序列来计算

q_r=(f_(n_r))/(n_r^theta),
(11)

其中 n_r 由 n_0=1 和递推关系定义

n_r=2n_(r-1)+/-1,
(12)

符号的选择是为了最小化 q_r。得到的点 (n_r,q_r) 是局部最小值，如上图所示。前几个 (n_r,q_r) 的值是 (1, 1), (3, 5), (5, 11), (11, 37), (21, 103), (43, 317), (87, 967), (173, 2869), ... (OEIS A077465 和 A077466; Harborth 1977)。最小的 n_r 的二进制表示中 1 的个数是 1, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 7, ... (OEIS A077467)。Harborth (1977) 使用关于 q_(19) 的严格不等式计算了 beta 的六位精度，但表示“最后，我们备注 q 来自 [q=lim_(r->infty)q_r] 很可能就是 beta 的精确值。”

请注意，Harborth 的递推关系不一定给出累积最小值，因为它会错过 n_r-2 处的局部最小值，如果函数在 n_r-1 处评估的值小于在 n_r 处评估的值。因此，给出所有局部最小值的序列是 1, 3, 5, 11, 21, 43, 87, 171, 173, 347, 693, 1387, 2775, 5547, 5549, ... (OEIS A084230)，其中“缺失”的项 171, 5547, ... 已被添加回来。

参见

Batrachion, 二进制, 二项式系数, 布朗芒格函数, 数字计数, Hofstadter-Conway $10,000 序列, 帕斯卡三角形, Rudin-Shapiro 序列

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Finch, S. R. "Stolarsky-Harborth Constant." §2.16 in 数学常数。 英国剑桥：剑桥大学出版社，pp. 145-151, 2003.Fine, N. J. "二项式系数模素数。" 美国数学月刊 54, 589-592, 1947.Glaisher, J. W. L. "关于二项式定理系数对素数模的剩余。" 数学季刊 30, 150-156, 1899.Harborth, H. "奇数二项式系数的数量。" 美国数学学会会刊 62, 19-22, 1977.Honsberger, R. 数学瑰宝 II。 华盛顿特区：美国数学协会，p. 1, 1976.Kimball, S. H.; Hatcher, T. R.; Riley, J. A>; 和 Moser, M. "问题 E 1288 的解答：奇数二项式系数。" 美国数学月刊 65, 368-369, 1958.Lakhtakia, A. 和 Messier, R. "来自高斯和的自相似序列和混沌。" 计算机与图形 13, 59-62, 1989.Lakhtakia, A.; Messier, R.; Varadan, V. K.; 和 Varadan, V. V. "源自 Sierpinski 垫片的自相似扩展的分形序列。" 物理学杂志 A 21, 1925-1928, 1988.McIlroy, M. D. "二进制整数中 1 的数量：界限和极值属性。" SIAM 计算杂志 3, 255-261, 1974.Roberts, J. B. "关于二项式系数剩余。" 加拿大数学杂志 9, 363-370, 1957.Sloane, N. J. A. 序列 A000120, A006046/M2445, A020857, A077464, A077465, A077466, A077467, 和 A084230 在“整数序列在线百科全书”中。Stolarsky, K. B. "与二项式系数奇偶性相关的数字和的幂和指数和。" SIAM 应用数学杂志 32, 717-730, 1977.Wolfram, S. "二项式系数的几何。" 美国数学月刊 91, 566-571, 1984.

在 Wolfram|Alpha 上引用

Stolarsky-Harborth 常数

请引用本文为

Weisstein, Eric W. "Stolarsky-Harborth 常数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Stolarsky-HarborthConstant.html

学科分类