二项式定理

有几个密切相关的结果，根据来源不同，它们都被称为二项式定理。更令人困惑的是，其中一些（以及其他相关）结果也被称为二项式公式、二项式展开和 二项式恒等式，而恒等式本身有时被简单地称为“二项级数”，而不是“二项式定理”。

二项式定理最一般的情况是 二项级数 恒等式

(1)

其中 是一个 二项式系数， 是一个实数。当 为整数，或 时，此级数收敛。Graham et al. (1994, p. 162) 将此一般形式称为二项式定理。Arfken (1985, p. 307) 将此公式在 时的特殊情况称为二项式定理。

当 是一个 正整数 时，该级数在 处终止，并且可以写成以下形式

(2)

Abramowitz 和 Stegun (1972, p. 10) 将此形式的恒等式称为二项式定理。

不同的术语总结在下表中。

“二项式定理”	来源
	Graham et al. (1994, p. 162)
	Arfken (1985, p. 307)
	Abramowitz 和 Stegun (1972, p. 10)

欧几里得在公元前 300 年左右就知道 的情况下的二项式定理，帕斯卡在 1665 年出版的一本遗作小册子中以现代形式陈述了它。帕斯卡的小册子，以及他从 1654 年开始与费马就该主题进行的通信（并于 1679 年出版），是为纪念他而命名算术三角形的基础。

牛顿 (1676) 表明该公式也适用于 负整数 ,

(3)

这就是所谓的 负二项级数，并且当 时收敛。

事实上，推广式

(4)

对于所有复数 且 成立。

在众多才华中，吉尔伯特和沙利文的轻歌剧《彭赞斯的海盗》中的斯坦利少将以他在“少将之歌”中对二项式定理的了解给海盗们留下了深刻印象，如下所示：“我是现代少将的典范，我掌握了植物、动物和矿物信息，我了解英国国王，并且我引用历史战役，从马拉松到滑铁卢，按类别顺序排列；我对数学问题也很熟悉，我理解方程，包括简单方程和二次方程，关于二项式定理，我充满了大量新闻——关于斜边平方的许多令人愉快的事实。”