拉斯卡尔三角形

拉斯卡尔三角形是一个 数三角形，其中的数字以交错的行排列，使得

对这个三角形的公开研究似乎起源于相对较近的时期，在 2002 年才被添加到斯隆整数数列线上大全 (OEIS) 中，被编目为[t]对角线为 与 模 同余的三角形——并且直到 2010 年才成为学术数学出版物的主题 (Anggoro et al. 2010)。这个三角形有时不使用大写字母，写成拉斯卡尔三角形。

关于拉斯卡尔三角形的文献中一个常见的论述点是它与 帕斯卡三角形 的相似性。实际上，拉斯卡尔三角形在主题上与帕斯卡三角形相似，因为以 开头的配置如下所示

并且之后的行，其第一个和最后一个条目等于

分别。

相似之处还不止于此。关于帕斯卡三角形的一个众所周知的事实是，每行的内部条目由所谓的倒三角形公式决定

如上图所示。

另一方面，拉斯卡尔三角形的行的内部条目由所谓的菱形公式决定，形式如下

由此可以计算出拉斯卡尔三角形的前几行，形式如下

(OEIS A077028)。令人惊讶的是，拉斯卡尔三角形的每个内部条目仍然是 整数 值，尽管事实上，如 () 中所示，每个这样的条目都是使用整数 除法 计算出来的 (Anggoro et al. 2010)。

通过检查拉斯卡尔三角形的前几行，可以假设其许多重要的数论性质的有效性。例如，给定的值支持以下主张 (OEIS A077028)：th 对角线 的每个元素都与 1 模 同余，例如，在第四条对角线中，其中的每一个

都与 1 模 3 同余。这里，。此外，人们注意到 th 行 th 行上的数字 似乎是——并且确实是——精确地是 th 行 th 对角线上的数字 (Anggoro et al. 2010)，其中，这里， 并且排除了第 0 行。这个观察结果对于证明拉斯卡尔三角形完全由整数组成至关重要。

拉斯卡尔三角形还有许多其他有趣的性质。例如，拉斯卡尔三角形的行之和是所谓的 蛋糕数 (OEIS A000125)

其他几位作者已经注意到拉斯卡尔三角形中的数字与数学的各个其他领域之间存在有趣的联系，包括 群论、线性代数 和几何分析。