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大卫之星定理


StarofDavidTheorem

正如 Gould (1972) 最初所述,

 GCD{(n-1; k),(n; k-1),(n+1; k+1)} 
 =GCD{(n-1; k-1),(n; k+1),(n+1; k)},
(1)

其中 GCD 是 最大公约数,而 (n; k) 是一个 二项式系数。随后 D. Singmaster 将其扩展至

 GCD{(n-1; k),(n; k-1),(n+1; k+1)} 
=GCD{(n-1; k-1),(n; k+1),(n+1; k)} 
=GCD{(n-1; k-2),(n-1; k-1),(n-1; k),(n-1; k+1)}
(2)

(Sato 1975),而 Sato (1975) 将其推广至

 GCD{(n; k+2),(n-1; k),(n-2; k-2),(n; k-1),(n+2; k),(n+1; k+1)} 
=GCD{(n-2; k),(n-1; k-1),(n; k-2),(n+1; k),(n+2; k+2),(n; k+1)} 
=GCD{(n-2; k-5+j)|j=1,2,3,4,5,6,7}.
(3)

Hitotumatu 和 Sato (1975) 获得了更大的推广,他们定义了

M_p={(n-p+1; k-2p+j+1)|j=1,2,...,3p-2},  (p>=1)
(4)
A_p={(n-p+j; k+p-1)|j=1,2,...,3p-2}  (p>=1)
(5)
R_p={(n-p+j; k-2p+j-1)|j=1,2,...,3p-2}  (p>=1)
(6)
Delta_p={(n-p+2t+1; k-p+t+1),(n+p-t-1; k+t),(n-t; k+p-2t-1)|t=1,2,...,p-1}  (p>=2)
(7)
del _p={(n-t; k-p+t+1),(n-p+2t+1; k+t),(n+p-t-1; k+p-2t-1)|t=1,2,...,p-1}  (p>=2)
(8)
U_p= union _(r=1)^pM_r
(9)
V_p= union _(r=1)^pA_r
(10)
W_p= union _(r=1)^pR_r
(11)
D_p= union _(r=1)^pDelta_r
(12)
N_p= union _(r=1)^pdel _r
(13)
B_p=M_p union A_p union R_p
(14)
S_p= union _(r=1)^pB_r
(15)

其中

 Delta_1=del _1=(n; k),
(16)

并表明十二个 二项式系数 M_pA_pR_pDelta_pdel _pU_pV_pW_pD_pN_pB_pS_p 具有相等的 最大公约数

StarofDavidTheorem2

第二个大卫之星定理指出,如果如上图所示在帕斯卡三角形的给定元素上绘制两个三角形,则两个星形中每个星形的相关点中三个数字的乘积 P 是相同的 (Butterworth 2002)。这源于以下事实:

P=(n-1; k-1)(n+1; k)(n; k+1)
(17)
=(n-1; k)(n; k-1)(n+1; k+1)
(18)
=((n-1)!n!(n+1)!)/((k-1)!k!(k+1)!(n-k-1)!(n-k)!(n-k+1)!).
(19)

第二个大卫之星定理不仅适用于通常的 二项式系数,而且也适用于 q-二项式系数,其中公共乘积由下式给出:

 P=((q^k)_infty(q^(k+1))_infty(q^(k+2))_infty(q^(n-l))_infty(q^(n-k+1))_infty(q_(n+k-2))_infty)/((q)_infty^3(q^n)_infty(q^(n+1))_infty(q^(n+2))_infty).
(20)

事实上,该定理适用于基于任何可除序列的广义二项式系数,例如,椭圆可除序列 (M. Somos,私人通信,2009 年 3 月 24 日)。


另请参阅

二项式系数, 二项式求和, 圣诞袜定理, 帕斯卡三角形

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参考文献

Ando, S. 和 Sato, D. "Translatable and Rotatable Configurations which Give Equal Product, Equal GCD and Equal LCM Properties Simultaneously." 收录于 斐波那契数列的应用,第 3 卷:1988 年 7 月 25-29 日在意大利比萨大学举行的第三届斐波那契数列及其应用国际会议论文集 (G. E. Bergum, A. N. Philippou 和 A. F. Horadam 编辑). 荷兰多德雷赫特:Kluwer, pp. 15-26, 1990a.Ando, S. 和 Sato, D. "A GCD Property on Pascal's Pyramid and the Corresponding LCM Property of the Modified Pascal Pyramid." 收录于 斐波那契数列的应用,第 3 卷:1988 年 7 月 25-29 日在意大利比萨大学举行的第三届斐波那契数列及其应用国际会议论文集 (G. E. Bergum, A. N. Philippou 和 A. F. Horadam 编辑). 荷兰多德雷赫特:Kluwer, pp. 7-14, 1990b.Ando, S. 和 Sato, D. "On the Proof of GCD and LCM Equalities Concerning the Generalized Binomial and Multinomial Coefficients." 收录于 斐波那契数列的应用,第 4 卷:1990 年 7 月 30 日至 8 月 3 日在北卡罗来纳州温斯顿-塞勒姆维克森林大学举行的第四届斐波那契数列及其应用国际会议论文集 (温斯顿-塞勒姆,北卡罗来纳州,1990 年) (G. E. Bergum, A. N. Philippou 和 A. F. Horadam 编辑). 荷兰多德雷赫特:Kluwer, 9-16, 1991.Ando, S. 和 Sato, D. "Multiple Color Version of the Star of David Theorems on Pascal's Triangle and Related Arrays of Numbers." 收录于 斐波那契数列的应用,第 6 卷:1994 年 7 月 18-22 日在华盛顿州立大学普尔曼分校举行的第六届斐波那契数列及其应用国际研究会议论文集 (G. E. Bergum, A. N. Philippou, 和 A. F. Horadam 编辑). 荷兰多德雷赫特:Kluwer, pp. 31-45, 1996.Butterworth, B. "The Twelve Days of Christmas: Music Meets Math in a Popular Christmas Song." Inside Science News Service, 2002 年 12 月 17 日. http://www.aip.org/isns/reports/2002/058.html.Gould, H. W. Not. Amer. Math. Soc. 19, A-685, 1972.Hitotumatu, S. 和 Sato, D. "Expansion of the Star of David Theorem." Abstracts Amer. Math. Soc., p. A-377, 1975.Hitotumatu, S. 和 Sato, D. "Star of David Theorem. I." Fib. Quart. 13, 70, 1975.Sato, D. "Expansion of the Star of David Theorem of H. W. Gould and David Singmaster." Abstracts Amer. Math. Soc., p. A-377, 1975.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

大卫之星定理

引用为

Weisstein, Eric W. "大卫之星定理。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源. https://mathworld.net.cn/StarofDavidTheorem.html

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