德兰诺数 
是从 
到 
的格路数量，其中只允许向东 (1, 0), 向北 (0, 1), 和东北 (1, 1) 步 (即 
, 
, 和 
)。它们由以下递推关系给出
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(1)
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其中 
。它们也由以下求和公式给出
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(2)
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(3)
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(4)
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其中 
是一个超几何函数。
德兰诺数的数值表如下所示
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(5)
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(OEIS A008288) 对于 
, 1, ... 从左到右递增，以及 
, 1, ... 从上到下递增。
它们具有生成函数
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(6)
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(Comtet 1974, p. 81)。
取 
得到中心德兰诺数 
，它是从 
角到 
正方形的右上角 
的 “国王步数”。 这些由以下公式给出
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(7)
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其中 
是一个勒让德多项式 (Moser 1955; Comtet 1974, p. 81; Vardi 1991)。 另一个表达式是
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(8)
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(9)
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(10)
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其中 
是一个二项式系数，而 
是一个超几何函数。 这些数字与康托集 (Cantor set) 有着惊人的联系 (E. W. Weisstein, Apr. 9, 2006)。
它们也满足递推方程
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(11)
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它们具有生成函数
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(12)
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(13)
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D(n) 的值 
对于 
, 2, ... 是 3, 13, 63, 321, 1683, 8989, 48639, ... (OEIS A001850)。 D(10^n,10^n) 的十进制位数 
对于 
, 1, ... 是 1, 7, 76, 764, 7654, 76553, 765549, 7655510, ... (OEIS A114470)，其中位数接近 
的位数 (OEIS A114491)。
最开始的几个素数德兰诺数是 3, 13, 265729, ... (OEIS A092830)，对应于索引 1, 2, 8, ...，对于 
没有其他素数 (Weisstein, Mar. 8, 2004)。
施罗德数 (Schröder numbers) 与德兰诺数的关系，正如卡塔兰数 (Catalan numbers) 与二项式系数的关系。
令人惊讶的是，对 
的方阵进行乔列斯基分解 (Cholesky decomposition)，转置，并将其乘以对角矩阵 
，得到帕斯卡三角形 (Pascal's triangle) 的方阵（即下三角矩阵）版本 (G. Helms, 私人通讯, Aug. 29, 2005)。
通过绘制 
(mod 
) 可以获得美丽的fractal (分形) 图案 (E. Pegg, Jr., 私人通讯, Aug. 29, 2005)。 特别是，
的情况对应于类似于谢尔宾斯基地毯 (Sierpiński carpet) 的图案。
