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有限群

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有限群是具有有限群阶的群。有限群的例子包括模乘法群、点群、循环群、二面体群、对称群、交错群等等。

有限群的性质在 Wolfram 语言中实现为FiniteGroupData[group, prop]。

有限群分类定理指出，有限单群可以完全分类为五种类型之一。

FiniteGroups8

可视化群的一种便捷方法是使用所谓的循环图，它显示了给定抽象群的循环结构。例如，上面说明了 8 阶的 5 个非同构群的循环图（Shanks 1993，第 85 页）。

弗鲁cht定理指出，每个有限群都是一个有限无向图的图自同构群。

有限（循环）群 C_2 是西北大学数学系无伴奏合唱团“克莱因四元群”幽默无伴奏合唱歌曲“有限单群（2 阶）”的主题。

下表给出了小群阶 h 的不同群的数量和名称。在表中，C_n 表示群阶为 n 的循环群，× 表示群直积，D_n 表示二面体群，Q_8 表示四元数群，A_n 表示交错群，T 表示 12 阶的非阿贝尔有限群，它不是 A_4 也不是 D_6（并且不是点群 T_h 的纯旋转子群 T），G_(16)^((4)) 表示 16 阶的准二面体（或半二面体）群，其群表示为 <s,t;s^8=t^2=1,st=ts^3>，G_(16)^((5)) 表示 16 阶的模群，其群表示为 <s,t;s^8=t^2=1,st=ts^5>，G_(16)^((6)) 表示 16 阶的群，其群表示为 <s,t;s^4=t^4=1,st=ts^3>，G_(16)^((7)) 表示 16 阶的群，其群表示为 <a,b,c;a^4=b^2=c^2=1,cbca^2b=1,bab=a,cac=a>，G_(16)^((8)) 表示群 G_(4,4)，其群表示为 <s,t;s^4=t^4=1,stst=1,ts^3=st^3>，G_(16)^((9)) 表示 16 阶的广义四元数群，其群表示为 <s,t;s^8=1,s^4=t^2,sts=t>，S_n 表示对称群，G_(18)^((3)) 表示 C_3×C_3 与 C_2 的半直积，其群表示为 <x,y,z;x^2=y^3=z^3=1,yz=zy,yxy=x,zxz=x>，F_n 表示 n 阶的弗罗贝尼乌斯群，G_(20)^((3)) 表示 C_5 与 C_4 的半直积，其群表示为 <s,t;s^4=t^5=1,tst=s>，G_(27)^((1)) 表示群，其群表示为 <s,t;s^9=t^3=1,st=ts^4>，G_(27)^((2)) 表示群，其群表示为 <x,y,z;x^3=y^3=z^3=1,yz=zyx,xy=yx,xz=zx>，以及 G_(28)^((2)) 表示 C_7 与 C_4 的半直积，其群表示为 <s,t;s^4=t^7=1,tst=s>

h#阿贝尔群#非阿贝尔群总计
11<e>0-1
21C_20-1
31C_30-1
42C_4, C_2×C_20-2
51C_50-1
61C_61D_32
71C_70-1
83C_8, C_2×C_4, C_2×C_2×C_22D_4, Q_85
92C_9, C_3×C_30-2
101C_(10)1D_52
111C_(11)0-1
122C_(12), C_2×C_63A_4, D_6, T5
131C_(13)0-1
141C_(14)1D_72
151C_(15)0-1
165C_(16), C_8×C_2, C_4×C_4, C_4×C_2×C_2, C_2×C_2×C_2×C_29D_8, D_4×C_2, Q×C_2, G_(16)^((4)), G_(16)^((5)), G_(16)^((6)), G_(16)^((7)), G_(16)^((8)), G_(16)^((9))14
171C_(17)0-1
182C_(18), C_6×C_33D_9, S_3×C_3, G_(18)^((3))5
191C_(19)0-1
202C_(20), C_(10)×C_23D_(10), F_(20), G_(20)^((2))5
211C_(21)1F_(21)2
221C_(22)1D_(11)2
231C_(23)0-1
243C_(24), C_2×C_(12), C_2×C_2×C_612S_4, S_3×C_4, S_3×C_2×C_2, D_4×C_3, Q×C_3, A_4×C_2, T×C_2, 以及其他 5 个15
252C_(25), C_5×C_50-2
261C_(26)1D_(13)2
273C_(27), C_9×C_3, C_3×C_3×C_32G_(27)^((1)), G_(27)^((2))5
282C_(28), C_2×C_(14)2D_(14), G_(28)^((2))4
291C_(29)0-1
304C_(30)3D_(15), D_5×C_3, D_3×C_54
311C_(31)0-1

下表列出了一些小有限群的属性。这里 h 再次是群阶，PG 表示群可以由单个置换生成，MMG 表示群是模乘法群，C 是共轭类的数量，S 是子群的数量，N 是正规子群的数量。请注意，既不是置换群也不是模乘法群的最小群是 Q_8、C_3×C_3 和 T。

h群阿贝尔群PGMMGCC 长度SS 长度NA 的计数，使得 A^i=1
1<e>是是是111111
2C_2是是否22×121, 221, 2
3C_3是是是33×121, 321, 1, 3
4C_4是是是44×131, 2, 431, 2, 1, 4
C_2×C_2是否是44×151, 3×2, 451, 4, 1, 4
5C_5是是否55×121, 421, 1, 1, 1, 5
6C_6是是是66×141, 2, 3, 641, 2, 3, 2, 1, 6
D_3否是否31, 2, 361, 3×2, 3, 631, 4, 3, 4, 1, 6
7C_7是是否77×121, 721, 1, 1, 1, 1, 1, 7
8C_8是是是88×141, 2, 4, 841, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 8
C_2×C_4是否是88×181, 3×2, 3×4, 841, 4, 1, 8, 1, 4, 1, 8
C_2×C_2×C_2是否是88×1161, 7×2, 7×4, 841, 8, 1, 8, 1, 8, 1, 8
D_4否是否52×1, 3×2101, 5×2, 3×4, 861, 6, 1, 8, 1, 6, 1, 8
Q_8否否否52×1, 3×261, 2, 3×4, 861, 2, 1, 8, 1, 2, 1, 8
9C_9是是否99×131, 3, 931, 1, 3, 1, 1, 3, 1, 1, 9
C_3×C_3是否否
10C_(10)是是是1010×141, 2, 5, 1041, 2, 1, 2, 5, 2, 1, 2, 1, 10
D_5否是否41, 2×2, 581, 5×2, 5, 1031, 6, 1, 6, 5, 6, 1, 6, 1, 10
11C_(11)是是否1111×121, 1121, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 11
12C_(12)是是是1212×161, 2, 3, 4, 6, 1261, 2, 3, 4, 1, 6, 1, 4, 3, 2, 1, 12
C_2×C_6是否是1212×1101, 3×2, 3, 4, 3×6, 12101, 4, 3, 4, 1, 12, 1, 4, 3, 4, 1, 12
A_4否是否41, 3, 2×4101, 3×2, 4×3, 4, 1231, 4, 9, 4, 1, 12, 1, 4, 9, 4, 1, 12
D_6否是否62×1, 2×2, 2×3161, 7×2, 3, 3×4, 3×6, 1281, 8, 3, 8, 1, 12, 1, 8, 3, 8, 1, 12
T否否否62×1, 2×2, 2×381, 2, 3, 3×4, 6, 1231, 2, 3, 8, 1, 6, 1, 8, 3, 2, 1, 12
13C_(13)是是是1313×121, 1321, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 13
14C_(14)是是否1414×141, 2, 7, 1441, 2, 1, 2, 1, 2, 7, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 14
D_7否是否51, 3×2, 7101, 7×2, 7, 1431, 8, 1, 8, 1, 8, 7, 8, 1, 8, 1, 8, 1, 14
15C_(15)是是否1515×141, 3, 5, 1541, 1, 3, 1, 5, 3, 1, 1, 3, 5, 1, 3, 1, 1, 15

Cayley（1854 年）首次考虑了确定阶为 h 的非同构有限群的问题。没有已知的公式可以给出可能的有限群 g(h) 的数量，作为群阶 h 的函数。但是，对于 h 的特殊形式，存在简单的公式。

g(1)=1
(1)
g(p)=1
(2)
g(pq)={1 if p(q-1); 2 if p|(q-1)
(3)
g(p^2)=2
(4)
g(p^3)=5,
(5)

其中 p 和 q>p 是不同的素数。此外，Hölder（Hölder 1895，Alonso 1976）提出了一个精美的算法，用于确定无平方因子 n 的 g(n)，即

g(n)=sum_(d|n)product_(p|d; d!=1)(p^(o_p(n/d))-1)/(p-1),
(6)

其中 o_p(m) 是素数 q 的数量，使得 q|m 和 p|(q-1) (Dennis)。

Miller（1930 年）给出了 1-100 阶群的数量，其中包括错误的 297 作为 64 阶群的数量。Senior 和 Lunn（1934 年，1935 年）随后完成了 215 的列表，但省略了 128 和 192。Hall 和 Senior（1964 年）纠正了 64 阶群的数量。James等人。（1990 年）在 128 阶的 115 个同斜族中发现了 2328 个群，纠正了之前的工作，O'Brien（1991 年）发现了 256 阶群的数量。目前，已知直到 2047 阶的群的数量，其中 512（g(512)=10494213; Eick 和 O'Brien 1999b）、768 (Besche 和 Eick 2001ab) 和 1024 这些困难情况现在已经解决（Conway等人。2008 年）。下表给出了前几百阶的每个群阶 h 的非同构有限群 N 的数量（OEIS A000001——第一个序列）。2^n 阶的非同构群的数量，对于 n=0, 1, ... 是 1, 1, 2, 5, 14, 51, 267, 2328, 56092, ... (OEIS A000679)。

存在 n=1, 2, ... 个非同构群的最小阶 h 是 1, 4, 75, 28, 8, 42, ... (OEIS A046057)。非同构有限群的增量最大数量是 1, 2, 5, 14, 15, 51, 52, 267, 2328, ... (OEIS A046058)，它们出现在阶 1, 4, 8, 16, 24, 32, 48, 64, 128, ... (OEIS A046059)。Dennis 推测，阶为 h 的群 g(h) 的数量无限次地取每个正整数值。

使用克罗内克分解定理可以很容易地确定阿贝尔群的数量，并且对于每个有限阶 h，至少存在一个阿贝尔群。群阶 h=1, 2, ... 的阿贝尔群的数量 A 由 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, ... 给出（OEIS A000688）。下表总结了阶为 h 从 1 到 400 的有限群总数 N 和阿贝尔有限群的数量 A。Royle 给出了阶数高达 1000 的表；GAP软件包包括一个高达 2000 阶（不包括 1024 阶）的有限群数量表。给定阶数的有限群的数量在 Wolfram 语言中实现为FiniteGroupCount[n]。

hNAhNAhNAhNA
11151111011115111
211525210241152123
31153111031115322
4225415310414315441
51155211052115521
6215613310621156182
71157211071115711
853582110845615821
92259111091115911
102160132110611602387
111161111112116111
12526221112435162555
131163421131116311
142164267111146116452
151165111151116521
1614566411165216621
171167111174216711
1852685211821168573
191169111191116922
2052704112047317041
212171111212217152
2221725061222117242
231173111231117311
2415374211244217441
252275321255317522
26217642126162176425
275377111271117711
2842786112823281517821
291179111292117911
30418052513041180374
3111811551311118111
32517822113210218241
331183111331118321
34218415213421184123
351185111355318511
36144862113615318661
371187111371118711
3821881231384118842
3921891113911189133
401439010214011219041
411191111411119111
4261924214221192154311
431193211431119311
444294211441971019421
452295111451119521
462196231714621196174
471197111476219711
48525985214852198102
492299221491119911
5052100164150132200526
hNAhNAhNAhNA
201212511130121351143
20221252464302213521957
20321253213031135311
2041222542130442535441
20521255113052135521
20621256560922230610235652
20722257113071135721
208515258613089235821
20911259113092135911
210121260152310613601626
21111261223111136122
212522622131261336221
21311263113131136332
2142126439331421364112
21511265113154236511
2161779266413164236661
21711267113171136711
218212684231841368425
21921269113191136922
22015227030332016401137041
22111271113211137111
2226127254532241372152
22311273513231137311
2241977274213241761037441
22564275423252237573
2262127610232621376123
22711277113272137711
22815227821328153378603
22911279423291137911
23041280403330121380112
23121281113311138121
232143282413324238221
23311283113335238311
23416228442334213842016915
23511285213351138521
2364228641336228538621
23721287113371138742
238412881045143385238852
23911289223391138911
240208529041340152390121
24111291213411139111
2425229252342182392446
243677293113435339311
2445229423234412339421
24522295113451139511
2464129614334621396304
24711297533471139711
2481232982134812239821
24911299113491139951
25015330049435010240022110

另请参阅

阿贝尔群, Abhyankar 猜想, 交错群, 伯恩赛德问题, 柯西-弗罗贝尼乌斯引理, 谢瓦莱群, 有限群分类定理, 合成列, 连续群, 晶体学点群, 循环图, 循环群, 二面体群, 离散群, Feit-Thompson 定理, 弗鲁cht定理, 群, 群阶, 无限群, 约当-赫尔德定理, 克罗内克分解定理, 李群, 李型群, 线性群, 模乘法群, 正交群, p-群, 点群, 四元数群, 单群, 散在群, 对称群, 辛群, 扭曲谢瓦莱群, 酉群 在 MathWorld 课堂中探索此主题

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参考文献

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有限群

请引用为

Weisstein, Eric W. "有限群。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/FiniteGroup.html

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