辛群

对于每个偶数维度 ，辛群 是 矩阵 的群，这些矩阵保持非退化的反对称双线性形式 ，即辛形式。

通过找到辛基，每个辛形式都可以被放入规范形式。因此，直到共轭，只有一个辛群，这与保持非退化对称双线性形式的正交群形成对比。与正交群一样，辛矩阵的列构成辛基。

由于 是一个体积形式，辛群保持体积和向量空间定向。因此，。实际上， 只是行列式为 1 的矩阵群。因此，三个辛(0,1)-矩阵是

(1)

矩阵

(2)

和

(3)

在 中，其中

(4)

事实上，这两个例子都是单参数子群。

可以使用Wolfram 语言代码测试矩阵是否为辛矩阵

  SymplecticForm[n_Integer] :=
    Join[PadLeft[IdentityMatrix[n], {n, 2n}],
      PadRight[-IdentityMatrix[n], {n, 2n}]]
  SymplecticQ[a_List]:= EvenQ[Length[a]]&&
    Transpose[a] . SymplecticForm[Length[a]/2] .
       a == SymplecticForm[Length[a]/2]

将矩阵视为由 坐标函数给出，矩阵集合被识别为 。辛矩阵是 方程的解

(5)

其中 由下式定义

(6)

请注意，这些方程是冗余的，因为只有 个方程是独立的，留下 个“自由”变量。事实上，辛群是 维子流形，它是 的子流形。

因为辛群是一个群和一个流形，所以它是一个李群。它在单位元处的子流形切空间是辛李代数 。辛群不是紧致的。

除了使用实数作为系数外，还可以使用来自任何域 的系数。对于 偶数，辛群 是一般线性群 中元素的群，这些元素保持给定的非奇异辛形式。任何这样的矩阵的行列式都为 1。