对称群

n 阶对称群 是所有 排列 在 个符号上的群。 因此是一个 置换群，其阶为 ，并且包含每个 阶为 的 群 作为子群。

第 阶对称群在 Wolfram 语言中表示为SymmetricGroup[n]。它的循环指标可以使用 Wolfram 语言生成，方法如下CycleIndexPolynomial[SymmetricGroup[n], x1, ..., xn].

的共轭类的数量由 给出，其中 是 的 划分函数 P。对称群是 传递群 (Holton 和 Sheehan 1993, p. 27)。

对于任何 有限群 ，凯莱群定理 证明 同构于对称群的子群。

上面说明了 的乘法表。

设 是给定排列的常用排列轮换记号。那么下表给出了 的乘法表，它有 个元素。

	(1)(2)(3)	(1)(23)	(3)(12)	(123)	(132)	(2)(13)
(1)(2)(3)	(1)(2)(3)	(1)(23)	(3)(12)	(123)	(132)	(2)(13)
(1)(23)	(1)(23)	(1)(2)(3)	(132)	(2)(13)	(3)(12)	(123)
(3)(12)	(3)(12)	(123)	(1)(2)(3)	(1)(23)	(2)(13)	(132)
(123)	(123)	(3)(12)	(2)(13)	(132)	(1)(2)(3)	(1)(23)
(132)	(132)	(2)(13)	(1)(23)	(1)(2)(3)	(123)	(3)(12)
(2)(13)	(2)(13)	(132)	(123)	(3)(12)	(1)(23)	(1)(2)(3)

通过使用三个整数的序列来表示给定的排列以及应用排列后的数字顺序，这可能会更容易理解。例如，考虑序列 ，并对其应用将序列项按 的顺序排列的排列。用 Wolfram 语言的符号表示，这得到 ，这是单位排列，如下表所示。

	123	132	213	231	312	321
123	123	132	213	231	312	321
132	132	123	312	321	213	231
213	213	231	123	132	321	312
231	231	213	321	312	123	132
312	312	321	132	123	231	213
321	321	312	231	213	132	123

对称群 的循环指标（在变量 , ..., 中）由下式给出

(1)

(Harary 1994, p. 184)，其中总和在解向量 的集合上运行，条件为

(2)

前几个 的循环指标是

			(3)
			(4)
			(5)
			(6)
			(7)

内托猜想指出，当 时，对称群的两个元素 和 生成整个群的概率趋于 3/4。这已被 Dixon (1969) 证明。对于 , 2, ...，两个元素生成 的概率为 1, 3/4, 1/2, 3/8, 19/40, 53/120, 103/168, ... （OEIS A040173 和 A040174）。找到序列项的通用公式是群论中一个著名的未解决问题。