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柯西-弗罗贝尼乌斯引理

设 J 为一个有限群，且像 R(J) 为一个表示，它是一个从 J 到一个置换群 S(X) 的同态，其中 S(X) 是一个群，由一个集合 X 的所有置换组成。将 R(J) 的轨道定义为在关系 x∼y 下的等价类，当且仅当存在某个 置换 p 在 R(J) 中使得 p(x)=y 成立时。置换 p 的不动点定义为 X 中的元素 x，对于这些元素，p(x)=x 成立。那么，R(J) 中置换的不动点的算术平均数等于 R(J) 的轨道的数量。

这个引理显然在 Burnside (1900) 重新发现之前，就已被柯西 (1845) 以晦涩的形式和弗罗贝尼乌斯 (1887) 所知。它有时也被称为 Burnside 引理、轨道计数定理、波利亚-Burnside 引理，甚至“不是 Burnside 的引理！”。无论其名称如何，这个引理随后被波利亚 (1937) 扩展和改进，用于组合计数问题中的应用。在这种形式下，它被称为波利亚计数定理。

参见

波利亚计数定理

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参考文献

Burnside, W. "On Some Properties of Groups of Odd Order." Proc. London Math. Soc. 33, 162-184, 1900.Cauchy, A. "Mémoire sur diverses propriétés remarquables des substitutions régulières ou irrégulières, et des systémes de substitutiones conjugées." Comptes Rendus Acad. Sci. Paris 21, 835, 1845. Reprinted in Œuvres Complètes d'Augustin Cauchy, Tome IX. Paris: Gauthier-Villars, 342-360, 1896.Frobenius, F. G. "Über die Congruenz nach einem aus zwei endlichen Gruppen gebildeten Doppelmodul." J. reine angew. Math. 101, 273-299, 1887. Reprinted in Ferdinand Georg Frobenius Gesammelte Abhandlungen, Band II. Berlin: Springer-Verlag, pp. 304-330, 1968.Harary, F. and Palmer, E. M. "Burnside's Lemma." §2.3 in Graphical Enumeration. New York: Academic Press, pp. 38-41, 1973.Neumann, P. M. "A Lemma that is not Burnside's." Math. Scientist 4, 133-141, 1979.Khan, M. R. "A Counting Formula for Primitive Tetrahedra in Z^3." Amer. Math. Monthly 106, 525-533, 1999.Pólya, G. "Kombinatorische Anzahlbestimmungen für Gruppen, Graphen, und chemische Verbindungen." Acta Math. 68, 145-254, 1937.Rotman, J. A First Course in Abstract Algebra, 2nd ed. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 2000.

请引用为

Weisstein, Eric W. "柯西-弗罗贝尼乌斯引理。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Cauchy-FrobeniusLemma.html

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