Burnside问题

Burnside问题起源于 Burnside (1902)，他写道：“关于不连续群理论中一个尚未解决的点是，一个群的群阶是否可能不是有限的，而它包含的每个运算的阶都是有限的。” 这个问题现在可以表述为：“一个有限生成群可以是无限的，同时群中的每个元素的阶都是有限的吗？” (Vaughan-Lee 1993)。 Golod (1964) 在构造了有限生成的无限 p-群时回答了这个问题。 然而，这些群没有有限的指数。

设 为群秩为 的自由群，设 为由 次幂 的集合生成的正规子群。 那么 是 的正规子群。 定义 为商群。 我们称 为指数为 的 -生成元 Burnside 群。 它是指数为 的最大 -生成元群，在这个意义上，每个其他这样的群都是 的同态像。 Burnside 问题通常表述为：“对于哪些 和 值， 是一个有限群？”

对于以下值，答案是已知的。 对于 ， 是群阶为 的循环群。 对于 ， 是群阶为 的初等阿贝尔 2-群。 对于 ，Burnside 证明了 是有限的。 群的群阶由 Levi 和 van der Waerden (1933) 确定，即 ，其中

(1)

其中 是一个二项式系数。 对于 ，Sanov (1940) 证明了 是有限的。 指数为 4 的群被证明是已知正解的最复杂情况。 精确的幂零类和导出长度是已知的，群阶的界限也是已知的，如下表总结。 , 2, ... 的前几个值是 4, 4096, 590295810358705651712, ... (OEIS A079682)，对应于 2 的 2, 12, 69, 422, 2728, ... 次方 (OEIS A116398)。

		参考文献
1
2		Tobin (1954)
3		Bayes 等人 (1974)
4		Havas 和 Newman (1980)
5		O'Brien 和 Newman (1996)

不等式 由 Burnside 在 1902 年证明，他还声称等式成立。 结果 是在 Gupta 和 Newman (1974) “手动” 获得不等式 之后，在计算机的帮助下证明的。

对于更大的 值，确切值尚不清楚。 对于 ，Hall (1958) 证明了 是有限的，群阶为 ，其中

			(2)
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没有其他 Burnside 群已知是有限的。 另一方面，对于 和 ，其中 为奇数， 是无限的 (Novikov 和 Adjan 1968)。 对于 和 为 2 的大幂次，也有类似的事实。

E. Zelmanov 因其解决“限制性” Burnside 问题而于 1994 年获得菲尔兹奖。