循环群是一个群，它可以由单个元素 
（群生成元）生成。循环群是阿贝尔群。
阶数为 
的有限群循环群表示为 
、
、
或 
；Shanks 1993，第 75 页），其生成元 
满足
 |
(1)
|
其中 
是单位元。
整数环 
在加法下形成无限循环群，整数 0、1、2、...、
(
) 在加法（模 
）下形成阶数为 
的循环群。在这两种情况下，0 都是单位元。
对于每个阶数 
，都存在唯一的循环群，因此相同阶数的循环群总是同构的（Scott 1987，第 34 页；Shanks 1993，第 74 页）。此外，循环群的子群是循环群，并且所有素数阶群都是循环群。事实上，唯一的单阿贝尔群是阶数为 
或 
（素数）的循环群（Scott 1987，第 35 页）。
第 
个循环群在 Wolfram 语言中表示为CyclicGroup[n]。
循环群的示例包括 
、
、
、... 以及模乘法群 
，其中 
、4、
或 
，其中 
是奇素数，
（Shanks 1993，第 92 页）。
所有循环群都具有相同的乘法表结构。上面展示了 
的表格。
通过计算特征因子，任何阿贝尔群都可以表示为循环子群的群直积，例如，有限群 C2×C4 或 有限群 C2×C2×C2。通常将群的直积表示中最高素因子的指数组合起来，因为这提供了更短的表示法，并且不会产生歧义。例如，
通常写为 
。
循环群 
的循环指标由下式给出
 |
(2)
|
其中 
表示 
整除 
，
是欧拉函数（Harary 1994，第 184 页）。前几个由下式给出
 |  |  |
(3)
|
 |  |  |
(4)
|
 |  |  |
(5)
|
 |  |  |
(6)
|
 |  |  |
(7)
|
