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交错群

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交错群是在长度为 n 的集合上偶置换的群，记为 A_n 或 Alt(n) (Scott 1987, p. 267)。因此，交错群是置换群。

第 n 个交错群在 Wolfram 语言中表示为AlternatingGroup[n].

交错群是置换群的正规子群，其群阶为 n!/2，对于 n=2, 3, ... 的前几个值是 1, 3, 12, 60, 360, 2520, ... (OEIS A001710)。交错群 A_n 是 (n-2)-传递的。

令人惊讶的是，二十面体群 I_h 的纯旋转子群 I 同构于 A_5。完整的二十面体群 I_h 同构于群直积 A_5×C_2，其中 C_2 是两个元素的循环群。

当 n>=5 时，交错群 A_n 是单群 (Scott 1987, p. 295)，即，它们唯一的正规子群是平凡子群和整个群 A_n。

交错群 A_n (对于 n=2, 3, ...) 中的共轭类数为 1, 3, 4, 5, 7, 9, ... (OEIS A000702)。

<e,(14)(23),(12)(34),(13)(24)> 是 A_4 唯一的非平凡真正规子群。

AlternatingGroupTable

上面展示了 A_5 的乘法表。

交错群 A_p 的轮换指标（变量为 x_i, ..., x_p）由下式给出

Z(A_p)=1/(p!)sum_((j))(p![1+(-1)^(j_2+j_4+...)])/(product_(k=1)^(p)k^(j_k)j_k!)a_1^(j_1)a_2^(j_2)...a_p^(j_p),
(1)

(Harary 1994, p. 184)，其中求和遍及解向量 j=(j_1,...,j_d) 的集合，满足

1j_1+2j_2+...+dj_d=d.
(2)

前几个 p 的轮换指标是

Z(A_1)=2x_1
(3)
Z(A_2)=x_1^2
(4)
Z(A_3)=1/3x_1^3+2/3x_3
(5)
Z(A_4)=1/(12)x_1^4+2/3x_3x_1+1/4x_2^2
(6)
Z(A_5)=1/(60)x_1^5+1/3x_3x_1^2+1/4x_2^2x_1+2/5x_5.
(7)

另请参阅

交错群图, 15 拼图, 轮换指标, 有限群, 群, Jordan 对称群定理, 李群, 置换群, 单群, 对称群

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参考文献

Artin, M. Algebra. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1991.Fraleigh, J. B. A First Course in Abstract Algebra, 7th ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 2002.Harary, F. Graph Theory. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 181 and 184, 1994.Hungerford, T. W. Algebra, 8th ed. New York: Springer-Verlag, 1997.Scott, W. R. Group Theory. New York: Dover, pp. 267 and 295, 1987.Sloane, N. J. A. Sequences A000702/M2307 and A001710/M2933 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Wilson, R. A. "ATLAS of Finite Group Representation." http://brauer.maths.qmul.ac.uk/Atlas/v3/spor/contents#alt.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

交错群

请引用为

Weisstein, Eric W. "交错群。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/AlternatingGroup.html

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