模乘法群

模乘法群是一个有限群 ，由与 互质的剩余类在模 乘法下构成。 是阿贝尔群，群的阶为 ，其中 是欧拉函数。

模乘法群可以通过构建其循环图来可视化。上面说明了一些低阶模乘法群的循环图。这些图是通过绘制标记的节点来构建的，每个节点对应剩余类的元素 ，并连接通过迭代 获得的循环。这种图的每条边都是双向的，但通常使用无向边绘制，双边用于指示长度为 2 的循环（Shanks 1993，第 85 页和 87-92 页）。

下表给出了小阶模乘法群，以及它们关于循环群 的同构。

是一个循环群（当且仅当 有原根时）当且仅当 是 , 4, , 或 的形式之一，其中 是一个奇素数，且 (Shanks 1993, p. 92)。其中前几个是 , 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 17, 18, 19, ... (OEIS A033948; Shanks 1993, p. 84)。

元素均为自共轭的唯一有序 是 24 的除数：1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 (OEIS A018253; Eggar 2000)。这些对应于群 , , , 和 。这也意味着没有模乘法群同构于超过三个 的副本的直积。

同构的模乘法群可以使用欧拉函数 的特定类型的分解来确定，使用以下性质：

如 Shanks (1993, pp. 92-93) 所述。为了执行此分解，首先类比于通过将 分解为标准形式来计算欧拉函数：

现在对于每个奇素数的幂，写成：

并分解前导项：

为：

其中 表示 的显式展开（即，），如果 ，则省略最后一项（因为在这种情况下，）。

如果 包含 2 的幂，使得 ，则写成：

现在合并来自奇素数和偶素数的项，将它们写成乘积，并合并任何明确的项的乘积。结果表达式表示为 ，群 同构于阶数由 给出的循环群的直积。

例如，考虑阶数为 的模乘法群。唯一的奇素数因子是 13，因此分解得到 。104 包含 的因子，因此偶素数因子的规则给出 。将这两者结合起来得到 。

和 同构当且仅当 和 相同。更具体地说，对应于给定 的抽象群可以用群直积的循环群来显式地确定，循环群的阶数是所谓的特征因子，其乘积表示为 。这种表示是从 获得的，作为 的每个因子的最大幂的乘积的集合。例如，对于 ，2 的最大幂是 ，3 的最大幂是 ，因此第一个特征因子是 ，剩下 （即，仅 2 的幂）。剩余的最大幂是 ，因此第二个特征因子是 2，剩下 2，这是第三个也是最后一个特征因子。因此，，群 同构于 。

下表总结了前几个 的同构模乘法群 ，并标识了相应的抽象群。没有 同构于循环群 、四元群 或二面体群 。然而，每个有限阿贝尔群都同构于 的子群，对于无限多个不同的 值 (Shanks 1993, p. 96)。上面说明了小 的 的循环图，Shanks (1993, pp. 87-92) 中说明了更复杂的循环图。

下表给出了同构于循环群直积的模乘法群 的阶数，对于 。

的特征因子 的数量，对于 , 2, ... 是 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, ... (OEIS A046072)。

对于 ， 中的二次剩余的数量由 给出 (Shanks 1993, p. 95)。对于 , 2, ... 前几个是 0, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 3, 2, 5, 1, 6, ... (OEIS A046073)。

在下表中， 是分解为特征因子的欧拉函数 (OEIS A000010)， 是卡迈克尔函数 (OEIS A011773)， 是群 的最小生成元（其数量等于特征因子的数量）。