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三极坐标

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给定一个 参考三角形 DeltaABC 和一个点 P，三元组 (x,y,z)，其中 x=PA, y=PB 和 z=PC 表示从 P 到参考三角形顶点的距离，是点 P 的三极坐标。

三极坐标满足

(a^2+b^2-c^2)(x^2y^2+c^2z^2)+(a^2-b^2+c^2)(b^2y^2+x^2z^2)+(-a^2+b^2+c^2)(a^2x^2+y^2z^2)-(a^2x^4+b^2y^4+c^2z^4)-a^2b^2c^2=0 (y^2+z^2-a^2)^2x^2+(x^2+z^2-b^2)^2y^2+(x^2+y^2-c^2)^2z^2-(y^2+z^2-a^2)(x^2+z^2-b^2)(x^2+y^2-c^2)-4x^2y^2z^2=0

(欧拉 1786年)。

给定 p:q:r，满足 x:y:z=p:q:r 的三极坐标的点的数量取决于 ap、bq 和 cr 是否构成三角形的边（两个点）、退化三角形（一个点）或非三角形（零个点）（Bottema 1987）

下表总结了一些命名中心的三极坐标。

X_n中心三极坐标
X_1内心 I(sqrt((bc(-a+b+c))/(a+b+c)),sqrt((ac(a-b+c))/(a+b+c)),sqrt((ab(a+b-c))/(a+b+c)))
X_2重心 G(1/3sqrt(2(b^2+c^2)-a^2),1/3sqrt(2(a^2+c^2)-b^2),1/3sqrt(2(a^2+b^2)-c^2))
X_3外心 O(R,R,R)
X_4垂心 H(2R|cosA|,2R|cosB|,2R|cosC|)
X_6交对称点 K((bcsqrt(2(b^2+c^2)-a^2))/(a^2+b^2+c^2),(acsqrt(2(a^2+c^2)-b^2))/(a^2+b^2+c^2),(absqrt(2(a^2+b^2)-c^2))/(a^2+b^2+c^2))

另请参阅

三线坐标

本条目的部分内容由 Floor van Lamoen 贡献

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参考文献

Bottema, O. "On the Distances of a Point to the Vertices of a Triangle." Crux Math. 10, 242-246, 1984.Bottema, O. Hoofdstukken uit de Elementaire Meetkunde, 2nd ed. Utrecht: Epsilon, pp. 33-38, 1987.Euler, L. "De symptomatibus quatuor punctorum in eodem plano sitorum." Acta Acad. Sci. Petropolitanae, 6 I, 3-18, 1786. Reprinted in Opera Omnia, Series Prima, Vol. 26, pp. 258-269.Gallatly, W. 三角形的现代几何学，第二版 London: Hodgson, 1913.Hatzipolakis, A. P. van Lamoen, F. M.; Wolk, B.; and Yiu, P. "Concurrency of Four Euler Lines." Forum Geom. 1, 59-68, 2001. http://forumgeom.fau.edu/FG2001volume1/FG200109index.html.Lalesco, T. La géometrie du triangle. Paris: Gabay, 1987.Poulain, A. "Des coordonnées tripolaires." J. des Mathématiques Spéciales, 3, 3-10, 51-55, 130-134, 155-159, and 171-172, 1889.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

三极坐标

请引用为

van Lamoen, Floor 和 Weisstein, Eric W. "三极坐标。" 来自 MathWorld——Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/TripolarCoordinates.html

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