实射影平面

实射影平面是闭拓扑流形，记为 ，通过从固定点 （不在平面上）投影平面 上的点，并加上无穷远线获得。它可以通过连接正方形的边在上面所示的方向上进行描述（Gardner 1971，第 15-17 页；Gray 1997，第 323-324 页）。

因此，在 中的点和穿过 且不平行于 的线之间存在一一对应关系。穿过 且平行于 的线与无穷远线上的点存在一一对应关系。由于每条穿过 的线都在以 为中心且与 相切的球体 上相交于两个对映点，因此 可以描述为 的商空间，通过识别任意两个这样的点获得。实射影平面是不可定向曲面。 的赤道（在商空间中，它本身是一条射影线）对应于无穷远线。

具有 6 个顶点的完全图 可以在射影平面上绘制，而没有任何线条交叉，如上图所示。这里，射影平面显示为一个虚线圆，线条在圆的另一侧继续。 在射影平面上的对偶图是 Petersen 图。

Boy 曲面、交叉帽和罗马曲面都同胚于实射影平面，并且由于 是不可定向的，因此这些曲面包含自相交（Kuiper 1961，Pinkall 1986）。