剖分

任何两个面积相等的直线图形都可以被剖分成有限数量的碎片，以互相构成。这就是 Wallace-Bolyai-Gerwien 定理。有关将三角形、五边形和八边形剖分成正方形的最小剖分，请参见 Stewart (1987, pp. 169-170) 以及 Ball 和 Coxeter (1987, pp. 89-91)。三角形到正方形的剖分（裁缝难题）尤其有趣，因为它可以用铰接的碎片构建，这些碎片可以折叠和展开以产生两种形状 (Gardner 1961; Stewart 1987, p. 169; Pappas 1989; Steinhaus 1999, pp. 3-4; Wells 1991, pp. 61-62)。

Laczkovich (1988) 证明了圆可以在有限次的剖分中求方 ()。此外，任何边界由平滑弯曲的片段组成的形状都可以被剖分成一个正方形。

从二维移动到三维，情况变得相当复杂。一般来说，一个多面体不能被剖分成其他特定类型的多面体。立方体可以被剖分成个立方体，其中是任意整数。1900 年，Dehn 证明并非每个棱柱都可以被剖分成一个四面体 (Lenhard 1962, Ball 和 Coxeter 1987)。希尔伯特问题的第三个问题要求确定两个四面体，它们不能通过剖分成全等的四面体或通过连接全等的四面体来等积。Dehn (1900, 1902) 表明这是不可能做到的，Kagan (1903) 不久后独立获得了相同的结果。从 Dehn 的工作中衍生出来的一个量，可以用来分析执行给定实体剖分的可能性，是 Dehn 不变量。

下表是 Gardner (1991, p. 50) 中给出的表格的更新版本。许多改进归功于 G. Theobald (Frederickson 1997)。将正 -边形（其中是第一列中的数字）剖分成正 -边形（其中是底行中的数字）所需的最小碎片数量，可以通过相应行和列的交点读出。在表中，表示正 -边形，GR 为黄金矩形，GC 为希腊十字，LC 为拉丁十字，为五角星（实心五角星形），为六角星（即六芒星或填充的大卫之星），以及为实心八角星形。

对于翻转碎片的许可性存在一些争议。虽然如果两者都使用相同数量的碎片，则优先选择未翻转的剖分是合理的，但当碎片数量不同时，分别列出已知最佳的翻转和未翻转剖分也是合理的 (G. Frederickson，与 G. Theobald 的私人交流)。因此，下表将涉及一个或多个翻转碎片的剖分表示为翻转/未翻转，如果已知使用较少碎片的剖分是翻转的剖分。

										GR	GC	LC
	4
	6	6
	5	5	7
	8	7	9	8
	7	5	8/9	8	10/11
	8	9	10	10/11	13	12
	7	7	9	8/9	11	10	13
	8	6	10	6	11	10	13/14	11/12
GR	4	3	6	5	7	6	9	6	7
GC	5	4	7	7	9	9	11	10	6	5
LC	5	5	8	6	8	8	10	10	7	5	7
	7	7	9	9	11	10	14	6	12	7	10	10
	5	5	8	6	9	8	11	9	9	5	8	8	10
	8	8	9	8/9	12	6	13	12	12	7	10	11	13	10

Wells (1991) 给出了几个有吸引力的正十二边形剖分。一个正凸 -边形到另一个正凸 -边形的最著名剖分，在以下 Theobald 提供的插图中显示了、4、5、6、7、8、9、10 和 12 的情况。

下面展示了正凹多边形的最著名剖分，适用于、和 (Theobald)。

下面展示了各种十字形的最著名剖分 (Theobald)。

下面展示了黄金矩形的最著名剖分 (Theobald)。

另请参阅

Banach-Tarski 悖论, Blanche 剖分, Cundy 和 Rollett 的蛋形, 十边形, Dehn 不变量, 魔方, 剖分谬误, 剖分证明, 剖分谜题, 十二边形, Ehrhart 多项式, 等积, 等边三角形, 黄金矩形, 七边形, 六边形, 六芒星, 希尔伯特问题, 拉丁十字, 马耳他十字, 九边形, 八边形, 八角星形, 五边形, 五角星形, 多面体剖分, 勾股正方形谜题, 勾股定理, Rep-Tile, 索玛立方体, 正方形, 拉克希米之星, 卐字, T 字谜题, 七巧板, Wallace-Bolyai-Gerwien 定理

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参考文献

Ball, W. W. R. and Coxeter, H. S. M. Mathematical Recreations and Essays, 13th ed. New York: Dover, pp. 87-94, 1987.Coffin, S. T. The Puzzling World of Polyhedral Dissections. New York: Oxford University Press, 1990.Coffin, S. T. and Rausch, J. R. The Puzzling World of Polyhedral Dissections CD-ROM. Puzzle World Productions, 1998.Cundy, H. and Rollett, A. Ch. 2 in Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., 1989.Dehn, M. "Über raumgleiche Polyeder." Nachr. Königl. Ges. der Wiss. zu Göttingen f. d. Jahr 1900, 345-354, 1900.Dehn, M. "Über den Rauminhalt." Math. Ann. 55, 465-478, 1902.Eppstein, D. "Dissection." http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/dissect.html.Eppstein, D. "Dissection Tiling." http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/distile/.Eriksson, K. "Splitting a Polygon into Two Congruent Pieces." Amer. Math. Monthly 103, 393-400, 1996.Frederickson, G. Dissections: Plane and Fancy. New York: Cambridge University Press, 1997.Frederickson, G. N. Hinged Dissections: Swinging & Twisting. New York: Cambridge University Press, 2002.Gardner, M. "Mathematical Games: About Henry Ernest Dudeney, A Brilliant Creator of Puzzles." Sci. Amer. 198, 108-112, Jun. 1958.Gardner, M. The Second Scientific American Book of Mathematical Puzzles & Diversions: A New Selection. New York: Simon and Schuster, 1961.Gardner, M. "Paper Cutting." Ch. 5 in Martin Gardner's New Mathematical Diversions from Scientific American. New York: Simon and Schuster, pp. 58-69, 1966.Gardner, M. The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions. Chicago, IL: Chicago University Press, 1991.Hunter, J. A. H. and Madachy, J. S. Mathematical Diversions. New York: Dover, pp. 65-67, 1975.Kagan, B. "Über die Transformation der Polyeder." Math. Ann. 57, 421-424, 1903.Keil, J. M. "Polygon Decomposition." Ch. 11 in Handbook of Computational Geometry (Ed. J.-R. Sack and J. Urrutia). Amsterdam, Netherlands: North-Holland, pp. 491-518, 2000.Kraitchik, M. "Dissection of Plane Figures." §8.1 in Mathematical Recreations. New York: W. W. Norton, pp. 193-198, 1942.Laczkovich, M. "Von Neumann's Paradox with Translation." Fund. Math. 131, 1-12, 1988.Lenhard, H.-C. "Über fünf neue Tetraeder, die einem Würfel äquivalent sind." Elemente Math. 17, 108-109, 1962.Lindgren, H. "Geometric Dissections." Austral. Math. Teacher 7, 7-10, 1951.Lindgren, H. "Geometric Dissections." Austral. Math. Teacher 9, 17-21, 1953.Lindgren, H. "Going One Better in Geometric Dissections." Math. Gaz. 45, 94-97, 1961.Lindgren, H. Recreational Problems in Geometric Dissection and How to Solve Them. New York: Dover, 1972.Madachy, J. S. "Geometric Dissection." Ch. 1 in Madachy's Mathematical Recreations. New York: Dover, pp. 15-33, 1979.Pappas, T. "A Triangle to a Square." The Joy of Mathematics. San Carlos, CA: Wide World Publ./Tetra, pp. 9 and 230, 1989.Steinhaus, H. Mathematical Snapshots, 3rd ed. New York: Dover, 1999.Stewart, I. The Problems of Mathematics, 2nd ed. Oxford, England: Oxford University Press, 1987.Theobald, G. "Geometric Dissections." http://home.btconnect.com/GavinTheobald/Index.html.Weisstein, E. W. "Books about Dissections." http://www.ericweisstein.com/encyclopedias/books/Dissections.html.Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. London: Penguin, pp. 56-57 and 243-244, 1991.

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剖分

请引用为

Theobald, Gavin 和 Weisstein, Eric W. “剖分”。来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Dissection.html