主题
Search

梯形

DOWNLOAD Mathematica Notebook下载 Wolfram Notebook
Trapezoid

梯形是具有两条边平行的四边形。梯形等同于英国对trapezium的定义（Bronshtein and Semendyayev 1977，第174页）。等腰梯形是底角相等的梯形，因此 c=d。 直角梯形是具有两个直角的梯形。

梯形的面积是

A=1/2(a+b)h
(1)
=mh
(2)
=1/4(b+a)/(b-a)eta,
(3)

其中

eta=sqrt((-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a-b+c-d)(a-b-c+d))
(4)
=4sqrt((s-a)(s-b)(s-b-c)(s-b-d)),
(5)

和

s=1/2(a+b+c+d)
(6)

是半周长。

几何质心位于底边和顶边之间的中线 m 上，如果梯形的左下角位于原点，则质心位于

x^_=b/2+((2a+b)(c^2-d^2))/(6(b^2-a^2))
(7)
y^_=(b+2a)/(3(a+b))h
(8)
=(b+2a)/(6(b^2-a^2))eta
(9)

（参见 Harris 和 Stocker 1998，第 83 页，他们给出了 y^_ 但没有给出 x^_。）

所描绘的梯形具有中心中线

m=1/2(a+b).
(10)

如果从上侧端点延伸垂直线，则左右两侧形成的三角形的底边分别是

x_1=((b-a)^2+c^2-d^2)/(2(b-a))
(11)
x_2=((b-a)^2-c^2+d^2)/(2(b-a))
(12)

分别为。这给出了顶点角为

theta_1=cos^(-1)(((b-a)^2+c^2-d^2)/(2(b-a)c))
(13)
theta_2=cos^(-1)(((b-a)^2-c^2+d^2)/(2(b-a)c))
(14)
theta_3=cos^(-1)(((a-b)^2-c^2+d^2)/(2(a-b)c))
(15)
theta_4=cos^(-1)(((a-b)^2+c^2-d^2)/(2(a-b)c))
(16)

从左下角开始逆时针方向。

TrapezoidDiagonals

根据边长，梯形的对角线由下式给出

p=sqrt((ab^2-a^2b-ac^2+bd^2)/(b-a))
(17)
q=sqrt((ab^2-a^2b-ad^2+bc^2)/(b-a))
(18)

高度由下式给出

h=eta/(2|b-a|),
(19)

其中 eta 如上定义。

设左下顶点位于原点，则对角线的交点位于

x_0=(b(a^2-b^2-c^2+d^2))/(2(a^2-b^2))
(20)
y_0=(beta)/(2(b^2-a^2)),
(21)

所示三角形的面积为

Delta_a=(a^2)/(2(a+b))h
(22)
Delta_b=(b^2)/(2(a+b))h
(23)
Delta_c=(ab)/(2(a+b))h
(24)
Delta_d=(ab)/(2(a+b))h,
(25)

因此

Delta_c=Delta_d
(26)

和

Delta_aDelta_b=Delta_cDelta_d=(a^2b^2)/(4(a+b)^2)h^2
(27)

（B. Gladman，私人通讯，2006 年 4 月 20 日。）

另请参阅

等腰梯形、平行四边形、棱锥台、矩形、直角梯形、Strombus、梯形 在 MathWorld 课堂中探索此主题

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Beyer, W. H. (编). CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 123, 1987.Bronshtein, I. N. and Semendyayev, K. A. Handbook of Mathematics, 3rd ed. New York: Springer-Verlag, 1997.Harris, J. W. and Stocker, H. "Trapezoid." §3.6.2 in Handbook of Mathematics and Computational Science. New York: Springer-Verlag, pp. 82-83, 1998.Kern, W. F. and Bland, J. R. Solid Mensuration with Proofs, 2nd ed. New York: Wiley, p. 3, 1948.

请引用本文为

Weisstein, Eric W. "Trapezoid." 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Trapezoid.html

学科分类