主题
Search

偏度

偏度是衡量分布不对称程度的指标。如果左尾部（分布小端的尾部）比右尾部（分布大端的尾部）更明显，则称该函数具有负偏度。如果情况相反，则具有正偏度。如果两者相等，则偏度为零。

定义了几种类型的偏度，但不幸的是，它们的术语和符号相当混乱。分布的“偏度”定义为

gamma_1=(mu_3)/(mu_2^(3/2)),
(1)

其中 mu_i 是第 i 个中心矩。符号 gamma_1 归因于卡尔·皮尔逊，但符号 alpha_3（Kenney 和 Keeping 1951，第 27 页；Kenney 和 Keeping 1962，第 99 页）和 sqrt(beta_1)（归因于 R. A. Fisher）也经常遇到（Kenney 和 Keeping 1951，第 27 页；Kenney 和 Keeping 1962，第 99 页；Abramowitz 和 Stegun 1972，第 928 页）。Abramowitz 和 Stegun（1972，第 928 页）也令人困惑地将 gamma_1 和 beta=gamma_1^2 都称为“偏度”。偏度在 Wolfram 语言 中实现为偏度[dist].

偏度 gamma_1 的一个估计量 g_1=<gamma_1> 是

g_1=(k_3)/(k_2^(3/2)),
(2)

其中 ks 是 k 统计量（Kenney 和 Keeping 1962，第 101 页）。对于样本量为 N 的正态总体，方差 g_1 为

var(g_1) approx 6/N
(3)

（Kendall 等人，1998年）。

下表给出了若干常见分布的偏度。

分布偏度
伯努利分布(1-2p)/(sqrt(p(1-p)))
Beta 分布(2(b-a))/((2+a+b))sqrt((1+a+b)/(ab))
二项分布(1-2p)/(sqrt(np(1-p)))
卡方分布2sqrt(2/r)
指数分布2
极值分布(12sqrt(6)zeta(3))/(pi^3)
F-分布(2(2n+m-2))/(m-6)sqrt((2(m-4))/(n(m+n-2)))
伽玛分布2/(sqrt(a))
几何分布(2-p)/(sqrt(1-p))
半正态分布(sqrt(2)(4-pi))/((pi-2)^(3/2))
超几何分布((m-n)(m+n-2N))/(m+n-2)sqrt((m+n-1)/(mnN(m+n-N)))
拉普拉斯分布0
对数正态分布sqrt(e^(S^2)-1)(2+e^(S^2))
麦克斯韦分布(2sqrt(2)(5pi-16))/((3pi-8)^(3/2))
负二项分布(2-p)/(sqrt(r(1-p)))
正态分布0
泊松分布nu^(-1/2)
瑞利分布(pi-3)sqrt(pi/(2(2-1/2pi)^3))
Snedecor's F-分布(2(n+2m-2))/((n-6))sqrt((2(n-4))/(m(m+n-2)))
Student's t-分布0
均匀分布0

还定义了其他几种形式的偏度。动差偏度定义为

alpha^((m))=1/2gamma_1.
(4)

皮尔逊众数偏度定义为

((mean-mode))/sigma.
(5)

皮尔逊偏度系数定义为

(3(mean-mode))/sigma
(6)

和

(3(mean-median))/sigma.
(7)

鲍利偏度（也称为四分位数偏度系数）定义为

((Q_3-Q_2)-(Q_2-Q_1))/(Q_3-Q_1)=(Q_1-2Q_2+Q_3)/(Q_3-Q_1),
(8)

其中 Qs 表示四分位距。动差偏度是

alpha^((m))=1/2gamma=(mu_3)/(2mu^(3/2)).
(9)

另请参阅

鲍利偏度, Gamma 统计量, 图偏度, h 统计量, 峰度, 均值, 动差偏度, 标准差

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). 数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第 9 版。 New York: Dover, p. 928, 1972.Kendall, W. S.; Barndorff-Nielson, O.; and van Lieshout, M. C. 随机几何的当前趋势：似然与计算。 Boca Raton, FL: CRC Press, 1998.Kenney, J. F. and Keeping, E. S. "Skewness." §7.10 in 统计数学，第一部分，第 3 版。 Princeton, NJ: Van Nostrand, pp. 100-101, 1962.Kenney, J. F. and Keeping, E. S. 统计数学，第二部分，第 2 版。 Princeton, NJ: Van Nostrand, 1951.Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; and Vetterling, W. T. "Moments of a Distribution: Mean, Variance, Skewness, and So Forth." §14.1 in FORTRAN 数值食谱：科学计算的艺术，第 2 版。 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 604-609, 1992.Stuart, A.; and Ord, J. K. Kendall 高级统计理论，第一卷：分布理论，第 6 版。 New York: Oxford University Press, 1998.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

偏度

请引用为

Weisstein, Eric W. “偏度”。来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Skewness.html

主题分类