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均匀分布

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均匀分布，有时也称为矩形分布，是一种具有恒定概率的分布。

UniformDistribution

在区间 [a,b] 上的连续均匀分布的概率密度函数和累积分布函数是

P(x)={0 for x<a; 1/(b-a) for a<=x<=b; 0 for x>b
(1)
D(x)={0 for x<a; (x-a)/(b-a) for a<=x<=b; 1 for x>b.
(2)

这些可以用 Heaviside 阶跃函数 H(x) 表示为

P(x)=(H(x-a)-H(x-b))/(b-a)
(3)
D(x)=((x-a)H(x-a)-(x-b)H(x-b))/(b-a),
(4)

后者简化为对于 a<x<b 的预期 D(x)=(x-a)/(b-a)。

连续分布实现为UniformDistribution[a, b]。

对于连续均匀分布，特征函数是

phi(t)=2/((b-a)t)sin[1/2(b-a)t]e^(i(a+b)t/2).
(5)

如果 a=0 且 b=1，则 特征函数简化为

phi(t)=(2sin(1/2t)e^(it/2))/t
(6)
=(i-icost+sint)/t.
(7)

矩生成函数是

M(t)=<e^(xt)>
(8)
=int_a^b(e^(xt))/(b-a)dx=[(e^(xt))/(t(b-a))]_a^b
(9)
={(e^(tb)-e^(ta))/(t(b-a)) for t!=0; 1 for t=0,
(10)

和

M^'(t)=1/(b-a)[1/t(be^(bt)-ae^(at))-1/(t^2)(e^(bt)-e^(at))]
(11)
=(e^(bt)(bt-1)-e^(at)(at-1))/((b-a)t^2).
(12)

矩生成函数在零点不可微，但可以通过微分然后取极限 lim_(t->0) 来计算矩。 原始矩由下式解析给出

mu_n^'=int_(-infty)^infty(H(x-a)-H(x-b))/(b-a)x^ndx
(13)
=int_a^b(x^n)/(b-a)dx
(14)
=(b^(n+1)-a^(n+1))/((n+1)(b-a)).
(15)

因此，前几个矩由下式明确给出

mu_1^'=1/2(a+b)
(16)
mu_2^'=1/3(a^2+ab+b^2)
(17)
mu_3^'=1/4(a+b)(a^2+b^2)
(18)
mu_4^'=1/5(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4).
(19)

中心矩由下式解析给出

mu_n^'=int_(-infty)^infty(H(x-a)-H(x-b))/(b-a)[x-1/2(a+b)]^ndx
(20)
=int_a^b([x-1/2(a+b)]^n)/(b-a)dx
(21)
=((a-b)^n+(b-a)^n)/(2^(n+1)(n+1)).
(22)

因此，前几个矩由下式明确给出

mu_1=0
(23)
mu_2=1/(12)(b-a)^2
(24)
mu_3=0
(25)
mu_4=1/(80)(b-a)^4.
(26)

因此，均值、方差、偏度和超额峰度为

mu=1/2(a+b)
(27)
sigma^2=1/(12)(b-a)^2
(28)
gamma_1=0
(29)
gamma_2=-6/5.
(30)

另请参阅

连续分布， 离散均匀分布， 等分布序列， 随机数， 矩形函数， 三角分布， 均匀差分布， 均匀积分布， 均匀比分布， 均匀和分布 在 课堂中探索此主题

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参考文献

Beyer, W. H. CRC 标准数学表格，第 28 版。 Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 531 和 533, 1987.

在 中引用

均匀分布

请引用为

Weisstein, Eric W. "均匀分布。" 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/UniformDistribution.html

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