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卡方分布

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如果 Y_i 具有 正态 独立 分布，均值 为 0，方差 为 1，那么

chi^2=sum_(i=1)^rY_i^2
(1)

分布为 chi^2，自由度为 r 自由度。这使得 chi^2 分布成为 伽玛分布，参数为 theta=2 和 alpha=r/2，其中 r 是 自由度 的数量。

更一般地，如果 chi_i^2 按照具有 chi^2 分布 自由度 r_1, r_2, ..., r_k 独立分布，那么

sum_(j=1)^kchi_j^2
(2)

按照 chi^2 分布，自由度 为 r=sum_(j=1)^(k)r_j。

ChiSquared
ChiSquarePlots

具有 chi^2 分布，r 自由度的概率密度函数由下式给出

P_r(x)=(x^(r/2-1)e^(-x/2))/(Gamma(1/2r)2^(r/2))
(3)

对于 x in [0,infty), 其中 Gamma(x) 是 伽玛函数。累积分布函数为：

D_r(chi^2)=int_0^(chi^2)(t^(r/2-1)e^(-t/2)dt)/(Gamma(1/2r)2^(r/2))
(4)
=1-(Gamma(1/2r,1/2chi^2))/(Gamma(1/2r))
(5)
=(gamma(1/2r,1/2chi^2))/(Gamma(1/2r))
(6)
=P(1/2r,1/2chi^2),
(7)

其中 gamma(a,x) 是 不完全伽玛函数，P(a,z) 是 正则化伽玛函数。

卡方分布在 Wolfram 语言中实现为ChiSquareDistribution[n].

对于 r<=2, P_r(x) 是单调递减的，但对于 r>=3, 它在

x=r-2,
(8)

处有一个最大值，其中

(dP_r)/(dx)=((r-x-2)x^((r-4)/2))/(2^(1+r/2)e^(x/2)Gamma(1/2r))=0.
(9)

具有 r 自由度 分布的第 n 阶 原点矩 为

mu_n^'=2^n(Gamma(n+1/2r))/(Gamma(1/2r))
(10)
=r(r+2)...(r+2n-2),
(11)

给出前几个为

mu_1^'=r
(12)
mu_2^'=r(r+2)
(13)
mu_3^'=r(r+2)(r+4)
(14)
mu_4^'=r(r+2)(r+4)(r+6).
(15)

第 n 阶 中心矩 由下式给出

mu_n=2^nU(-n,1-n-1/2r,-1/2r),
(16)

其中 U(a,b,x) 是 第二类合流超几何函数，给出前几个为

mu_2=2r
(17)
mu_3=8r
(18)
mu_4=12r(r+4)
(19)
mu_5=32r(12+5r).
(20)

可以通过 特征函数 找到 累积量

phi(t)=int_0^infty(2^(-r/2)e^(-x/2)x^((r-2)/2))/(Gamma(1/2r))dx
(21)
=(1-2it)^(-r/2).
(22)

对两边取 自然对数 得到

lnphi=-1/2rln(1-2it).
(23)

但这只是一个 麦卡托级数

ln(1-x)=-sum_(n=1)^infty(x^n)/n
(24)

其中 x=2it, 因此从累积量的定义可以得出

sum_(n=0)^inftykappa_n((it)^n)/(n!)=1/2rsum_(n=1)^infty((2it)^n)/n,
(25)

给出结果

kappa_n=2^(n-1)(n-1)!r.
(26)

因此前几个是

kappa_1=r
(27)
kappa_2=2r
(28)
kappa_3=8r
(29)
kappa_4=48r.
(30)

chi^2 分布的 矩生成函数 是

M(t)=(1-2t)^(-r/2)
(31)
R(t)=lnM(t)
(32)
=-1/2rln(1-2t)
(33)
R^'(t)=r/(1-2t)
(34)
R^('')(t)=(2r)/((1-2t)^2),
(35)

所以

mu=R^'(0)
(36)
=r
(37)
sigma^2=R^('')(0)
(38)
=2r
(39)
gamma_1=2sqrt(2/r)
(40)
gamma_2=(12)/r.
(41)

如果均值不等于零，则会得到一个更一般的分布，称为 非中心卡方分布。特别地，如果 X_i 是 正态分布 的独立变量，均值 为 mu_i，方差 为 sigma_i^2，对于 i=1, ..., n, 那么

1/2chi^2=sum_(i=1)^n((x_i-mu_i)^2)/(2sigma_i^2)
(42)

服从 伽玛分布，参数为 alpha=n/2，即

P(y)dy=1/(Gamma(1/2n))e^(-y)y^((n/2)-1)dy.
(43)

其中 y=chi^2/2。

另请参阅

卡方分布, 非中心卡方分布, 正态分布, Snedecor's F 分布, 统计分布

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参考文献

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (编). 数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第 9 版. New York: Dover, pp. 940-943, 1972.Beyer, W. H. CRC 标准数学表格，第 28 版. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 535, 1987.Kenney, J. F. 和 Keeping, E. S. "卡方分布." §5.3 在 统计数学，第二部分，第 2 版. Princeton, NJ: Van Nostrand, pp. 98-100, 1951.Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; 和 Vetterling, W. T. "不完全伽玛函数、误差函数、卡方概率函数、累积泊松函数." §6.2 在 FORTRAN 数值方法：科学计算的艺术，第 2 版. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 209-214, 1992.Spiegel, M. R. 概率与统计的理论与问题. New York: McGraw-Hill, pp. 115-116, 1992.

在 Wolfram|Alpha 中引用

卡方分布

请引用为

Eric W. Weisstein "卡方分布." 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源. https://mathworld.net.cn/Chi-SquaredDistribution.html

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