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拉普拉斯分布

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LaplaceDistribution

拉普拉斯分布，也称为双指数分布，是两个具有相同 指数分布 的独立变量之间差异的分布 (Abramowitz and Stegun 1972, p. 930)。它具有概率密度函数和累积分布函数，由下式给出

P(x)=1/(2b)e^(-|x-mu|/b)
(1)
D(x)=1/2[1+sgn(x-mu)(1-e^(-|x-mu|/b))].
(2)

它在 Wolfram 语言 中实现为LaplaceDistribution[mu, beta].

关于 均值 mu_n 的 矩 与关于 0 的 矩 的关系为

mu_n=sum_(j=0)^n(n; j)(-1)^(n-j)mu_j^'mu^(n-j),
(3)

其中 (n; k) 是一个 二项式系数，因此

mu_n=sum_(j=0)^(n)sum_(k=0)^(|_j/2_|)(-1)^(n-j)(n; j)(j; 2k)b^(2k)mu^(n-2k)Gamma(2k+1)
(4)
={n!b^n for n even; 0 for n odd,
(5)

其中 |_x_| 是 向下取整函数，Gamma(2k+1) 是 伽玛函数。

矩 也可以使用 特征函数 计算，

phi(t)=int_(-infty)^inftye^(itx)P(x)dx=1/(2b)int_(-infty)^inftye^(itx)e^(-|x-mu|/b)dx.
(6)

使用 指数函数的傅里叶变换

F_x[e^(-2pik_0|x|)](k)=1/pi(k_0)/(k^2+k_0^2)
(7)

得到

phi(t)=(e^(imut))/(1+b^2t^2)
(8)

(Abramowitz and Stegun 1972, p. 930)。因此，矩 为

mu_n=(-i)^nphi(0)=(-i)^n[(d^nphi)/(dt^n)]_(t=0).
(9)

均值、方差、偏度 和 超额峰度 为

mu=mu
(10)
sigma^2=2b^2
(11)
gamma_1=0
(12)
gamma_2=3.
(13)

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (编辑). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, 1972.Papoulis, A. Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 2nd ed. New York: McGraw-Hill, p. 104, 1984.

在 Wolfram|Alpha 上引用

拉普拉斯分布

引用为

Weisstein, Eric W. "拉普拉斯分布。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/LaplaceDistribution.html

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