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几何分布

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GeometricDistribution

几何分布是 离散分布，用于 n=0, 1, 2, ... 具有 概率密度函数

P(n)=p(1-p)^n
(1)
=pq^n,
(2)

其中 0<p<1, q=1-p, 和 分布函数 是

D(n)=sum_(k=0)^(n)P(k)
(3)
=1-q^(n+1).
(4)

几何分布是唯一的 离散 无记忆 随机分布。它是 指数分布 的离散模拟。

请注意，一些作者（例如，Beyer 1987, p. 531; Zwillinger 2003, pp. 630-631）更倾向于将分布定义为 n=1, 2, ...，而上面给出的分布形式在 Wolfram 语言 中实现为GeometricDistribution[p]。

P(n) 是归一化的，因为

sum_(n=0)^inftyP(n)=sum_(n=0)^inftyq^np=psum_(n=0)^inftyq^n=p/(1-q)=p/p=1.
(5)

原始矩 以 多对数函数 解析地给出，

mu_k^'=sum_(n=0)^(infty)P(n)n^k
(6)
=sum_(n=0)^(infty)p(1-p)^nn^k
(7)
=pLi_(-k)(1-p).
(8)

这明确地给出了前几个为

mu_1^'=(1-p)/p
(9)
mu_2^'=((2-p)(1-p))/(p^2)
(10)
mu_3^'=((1-p)[6+(p-6)p])/(p^3)
(11)
mu_4^'=((2-p)(1-p)[12+(p-12)p])/(p^4).
(12)

中心矩 以 Lerch 超函数 解析地给出，

mu_k=sum_(n=0)^(infty)P(n)(n-(1-p)/p)^k
(13)
=pPhi(1-p,-k,(p-1)/p).
(14)

这明确地给出了前几个为

mu_2=(1-p)/(p^2)
(15)
=q/(p^2)
(16)
mu_3=((p-1)(p-2))/(p^3)
(17)
=(q(2-p))/(p^3)
(18)
mu_4=((p-1)(-p^2+9p-9))/(p^4),
(19)

因此，均值、方差、偏度 和 峰度超额 由下式给出

mu=(1-p)/p
(20)
sigma^2=(1-p)/(p^2)
(21)
gamma_1=(2-p)/(sqrt(1-p))
(22)
gamma_2=(p^2-6p+6)/(1-p).
(23)

对于 p=1/2 的情况（对应于 抛硬币 次数分布，该次数是在 圣彼得堡悖论 中获胜所需的次数），公式 (23) 给出

mu_k^'|_(p=1/2)=1/2Li_(-k)(1/2).
(24)

因此，前几个原始矩是 1, 3, 13, 75, 541, .... 这些数字的两倍是 OEIS A000629，它们具有 指数生成函数 f(x)=-ln(2-e^x) 和 g(x)=e^x/(2-e^x)。案例 p=q=1/2 的 均值、方差、偏度 和 峰度超额 由下式给出

mu=1
(25)
sigma^2=2
(26)
gamma_1=3/2sqrt(2)
(27)
gamma_2=(13)/2.
(28)

特征函数 由下式给出

phi(t)=p/(1-(1-p)e^(it)).
(29)

几何分布的第一个 累积量 是

kappa_1=(1-p)/p,
(30)

随后的 累积量 由 递推关系 给出

kappa_(r+1)=(p-1)(dkappa_r)/(dp).
(31)

几何分布的 平均偏差 是

MD=2(1-p)^(|_1/p_|)|_1/p_|,
(32)

其中 |_x_| 是 向下取整函数。

另请参阅

几何级数, 超几何分布, 圣彼得堡悖论

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参考文献

Beyer, W. H. CRC 标准数学手册，第 28 版。 Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 531-532, 1987.Sloane, N. J. A. 序列 A000629，出自“整数数列线上百科全书”。Spiegel, M. R. 概率与统计的理论与问题。 New York: McGraw-Hill, p. 118, 1992.Zwillinger, D. (Ed.). CRC 标准数学手册和公式集，第 31 版。 Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 630-631, 2003.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

几何分布

请引用为

Weisstein, Eric W. “几何分布。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/GeometricDistribution.html

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