伽玛分布 -- 来自 Wolfram MathWorld

伽玛分布是一种通用的统计分布类型，它与β分布相关，并且自然地出现在泊松分布事件之间等待时间相关的过程中。伽玛分布有两个自由参数，标记为和，上面展示了其中一些。

考虑分布函数，表示在给定变化率为的泊松分布下，直到第个泊松事件发生的等待时间：

			(1)
			(2)
			(3)
			(4)
			(5)

对于，其中是完全伽玛函数，而是不完全伽玛函数。当为整数时，此分布是称为厄尔朗分布的特殊情况。

相应的概率函数，表示直到第个泊松事件发生的等待时间的概率函数，通过对求导获得：

			(6)
			(7)
			(8)
			(9)
		$lambdae^(-lambdax){1-sum_(k=1)^(h-1)[((lambdax)^(k-1))/((k-1)!)-((lambdax)^k)/(k!)]}$	(10)
		$lambdae^(-lambdax){1-[1-((lambdax)^(h-1))/((h-1)!)]}$	(11)
			(12)

现在令（不一定是整数），并定义为变化间隔时间。那么上述方程可以写成：

(13)

对于。这是伽玛分布的概率函数，相应的分布函数是：

(14)

其中是正则化伽玛函数。

它在Wolfram 语言中作为函数实现：GammaDistribution[alpha, theta].

描述此分布的特征函数是：

		$F_x{(x^(-x/theta)x^(alpha-1))/(Gamma(alpha)theta^alpha)[1/2(1+sgnx)]}(t)$	(15)
			(16)

其中是参数为的傅里叶变换，而矩量生成函数是：

			(17)
			(18)

给出关于 0 的矩为：

(19)

（Papoulis 1984，第 147 页）。

为了明确找到使用矩量生成函数的分布矩，令：

			(20)
			(21)

因此：

			(22)
			(23)
			(24)

给出对数矩量生成函数为：

			(25)
			(26)
			(27)

均值、方差、偏度和超额峰度分别是：

			(28)
			(29)
			(30)
			(31)

伽玛分布与其他统计分布密切相关。如果、、...、是独立的随机变量，它们具有参数为、、...、的伽玛分布，则也服从伽玛分布，参数为：

			(32)
			(33)

此外，如果和是独立的随机变量，它们具有参数为和的伽玛分布，则是参数为的β分布变量。两者都可以如下推导出来。

(34)

设：

(35)

(36)

则雅可比行列式为：

(37)

因此：

(38)

			(39)
			(40)

因此，和的分布为：

(41)

这是一个伽玛分布，比率的分布为：

			(42)
			(43)
			(44)

其中是β函数，这是一个β分布。

如果和是参数分别为和的伽玛变量，则是参数为和的β' 分布变量。设：

(45)

则雅可比行列式为：

(46)

因此：

(47)

			(48)
			(49)

因此，比率的分布为：

(50)

这是一个参数为的β' 分布。

伽玛分布的“标准形式”通过令给出，因此且：

			(51)
			(52)
			(53)

因此，关于 0 的矩为：

			(54)
			(55)
			(56)

其中是波赫哈默尔符号。关于的矩为：

			(57)
			(58)
			(59)
			(60)

矩量生成函数为：

(61)

累积量生成函数为：

(62)

因此累积量为：

(63)

如果是正态变量，均值为，标准差为，则：

(64)

是参数为的标准伽玛变量。

伽玛分布

另请参阅

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参考文献

在 Wolfram|Alpha 中被引用

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