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负二项分布

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负二项分布，也称为帕斯卡分布或波利亚分布，给出了在 x+r-1 次试验中获得 r-1 次成功和 x 次失败，并在第 (x+r) 次试验中获得成功的概率。因此，概率密度函数由下式给出

P_(r,p)(x)=p[(x+r-1; r-1)p^(r-1)(1-p)^([(x+r-1)-(r-1)])]
(1)
=[(x+r-1; r-1)p^(r-1)(1-p)^x]p
(2)
=(x+r-1; r-1)p^r(1-p)^x,
(3)

其中 (n; k) 是二项式系数。然后，分布函数由下式给出

D(x)=sum_(n=0)^(x)(n+r-1; r-1)p^r(1-p)^n
(4)
=1-((1-p)^(x+1)p^rGamma(x+r+1)_2F^~_1(1,x+r+1;x+2;1-p))/(Gamma(r))
(5)
=I(p;r,x+1),
(6)

其中 Gamma(z) 是伽玛函数， _2F^~_1(a,b;c;z) 是正则化超几何函数，而 I(z;a,b) 是正则化贝塔函数。

负二项分布在 Wolfram 语言中实现为NegativeBinomialDistribution[r, p].

定义

P=(1-p)/p
(7)
Q=1/p,
(8)

特征函数由下式给出

phi(t)=(Q-Pe^(it))^(-r),
(9)

矩生成函数由下式给出

M(t)=<e^(tx)>=sum_(x=0)^inftye^(tx)(x+r-1; r-1)p^r(1-p)^x.
(10)

因为 (N; n)=(N; N-n),

M(t)=p^r[1-(1-p)e^t]^(-r)
(11)
M^'(t)=p^r(1-p)r[1-(1-p)e^t]^(-r-1)e^t
(12)
M^('')(t)=(1-p)rp^r(1-e^t+pe^t)^(-r-2)×(-1-e^tr+e^tpr)e^t
(13)
M^(''')(t)=(1-p)rp^r(1-e^t+e^tp)^(-r-3)×[1+e^t(1-p+3r-3pr)+r^2e^(2t)(1-p)^2]e^t.
(14)

因此，原点矩 mu_n^'=M^((n))(0) 为

mu_1^'=(rq)/p
(15)
mu_2^'=(rq(1+rq))/(p^2)
(16)
mu_3^'=(q[rp^2+3pq(r)_1+q^2(r)_2])/(p^3)
(17)
mu_4^'=(q[rp^3+7p^2q(r)_1+6pq^2(r)_2+q^3(r)_3])/(p^4),
(18)

其中

q=1-p
(19)

且 (r)_n 是Pochhammer 符号。（请注意，Beyer 1987, p. 487 显然给出了错误的均值。）

这给出了中心矩为

mu_2=(r(1-p))/(p^2)
(20)
mu_3=(r(2-3p+p^2))/(p^3)=(r(p-1)(p-2))/(p^3)
(21)
mu_4=(r(1-p)(6-6p+p^2+3r-3pr))/(p^4).
(22)

那么均值、方差、偏度和超额峰度为

mu=(rq)/p
(23)
sigma^2=(rq)/(p^2)
(24)
gamma_1=(2-p)/(sqrt(rq))
(25)
gamma_2=(p^2-6p+6)/(rq),
(26)

这也可以写成

mu=nP
(27)
sigma^2=nPQ
(28)
gamma_1=(Q+P)/(sqrt(rPQ))
(29)
gamma_2=(1+6PQ)/(rPQ)-3.
(30)

第一个累积量是

kappa_1=nP,
(31)

后续累积量由递推关系给出

kappa_(r+1)=PQ(dkappa_r)/(dQ).
(32)

另请参阅

二项分布

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Beyer, W. H. CRC 数学标准表，第 28 版。 Boca Raton, FL: CRC Press, p. 533, 1987.Spiegel, M. R. 概率与统计的理论和问题。 New York: McGraw-Hill, p. 118, 1992.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

负二项分布

引用为

韦斯坦因，埃里克·W. “负二项分布。” 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/NegativeBinomialDistribution.html

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