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极值分布

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Fisher-Tippett 极值分布基本上有三种类型。最常见的是 I 型分布，有时也称为耿贝尔型或简称为耿贝尔分布。这些是 N 个元素 X_i 的分布的极值阶统计量的分布。

对应于最大极值分布（即，最大值 X^() 的分布）的 Fisher-Tippett 分布，有时称为对数 Weibull 分布，其位置参数为 alpha，尺度参数为 beta，在 Wolfram 语言中实现为ExtremeValueDistribution[alpha, beta].

FisherTippettDistribution

它具有概率密度函数和分布函数

P(x)=(e^((a-x)/b-e^((a-x)/b)))/b
(1)
D(x)=e^(-e^((a-x)/b)).
(2)

矩可以直接通过定义计算

z=exp((a-x)/b)
(3)
x=a-blnz
(4)
dz=-1/bexp((a-x)/b)dx.
(5)

那么原点矩是

mu_n^'=int_(-infty)^inftyx^nP(x)dx
(6)
=1/bint_(-infty)^inftyx^nexp((a-x)/b)exp[-e^((a-x)/b)]dx
(7)
=-int_infty^0(a-blnz)^ne^(-z)dz
(8)
=int_0^infty(a-blnz)^ne^(-z)dz
(9)
=sum_(k=0)^(n)(n; k)(-1)^ka^(n-k)b^kint_0^infty(lnz)^ke^(-z)dz
(10)
=sum_(k=0)^(n)(n; k)a^(n-k)b^kI(k),
(11)

其中 I(k) 是欧拉-马歇罗尼积分。代入欧拉-马歇罗尼积分 I(k) 得到

mu_0^'=1
(12)
mu_1^'=a+bgamma
(13)
mu_2^'=(a+bgamma)^2+1/6pi^2b^2
(14)
mu_3^'=2zeta(3)b^3+1/2(a+bgamma)pi^2b^2+(a+bgamma)^3
(15)
mu_4^'=a^4+4a^3bgamma+6a^2b^2(gamma^2+1/6pi^2)+4ab^3[gamma^3+1/2gammapi^2+2zeta(3)]+b^4[gamma^4+gamma^2pi^2+3/(20)pi^4+8gammazeta(3)],
(16)

其中 gamma 是欧拉-马歇罗尼常数，zeta(3) 是 Apéry 常数。

因此，相应的中心矩是

mu_2=1/6b^2pi^2
(17)
mu_3=2zeta(3)b^3
(18)
mu_4=3/(20)b^4pi^4,
(19)

给出均值、方差、偏度和峰度超额为

mu=a+bgamma
(20)
sigma^2=1/6pi^2b^2
(21)
gamma_1=(12sqrt(6)zeta(3))/(pi^3)
(22)
gamma_2=(12)/5.
(23)

特征函数是

phi(t)=Gamma(1-ibetat)e^(ialphat),
(24)

其中 Gamma(z) 是伽玛函数（Abramowitz 和 Stegun 1972, p. 930）。

中心极限定理的类似定理指出，M_n 的渐近归一化分布满足以下三种分布之一

D(y)=exp(-e^(-y))
(25)
D(y)={0 if y<=0; exp(-y^(-a)) if y>0
(26)
D(y)={exp[-(-y)^a] if y<=0; 1 if y>0,
(27)

也分别称为耿贝尔型、弗雷歇型和威布尔型分布。

负 -y 的分布也是极值分布。负 -y 的耿贝尔型分布在以下项中实现为GumbelDistribution[alpha, beta]。负 -y 的威布尔型分布是威布尔分布。双参数威布尔分布实现为WeibullDistribution[alpha, beta].

另请参阅

欧拉-马歇罗尼积分, 耿贝尔分布, 顺序统计量, 威布尔分布

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参考文献

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). 数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第 9 版。 New York: Dover, 1972.Balakrishnan, N. and Cohen, A. C. 顺序统计量与推断。 New York: Academic Press, 1991.David, H. A. 顺序统计量，第 2 版。 New York: Wiley, 1981.Finch, S. R. "Extreme Value Constants." §5.16 in 数学常数。 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 363-367, 2003.Gibbons, J. D. and Chakraborti, S. (Eds.). 非参数统计推断，第 3 版修订扩展版。 New York: Dekker, 1992.Johnson, N.; Kotz, S.; and Balakrishnan, N. Continuous Univariate Distributions, Vol. 2, 2nd ed. New York: Wiley, 1995.Natrella, M. "Extreme Value Distributions." §8.1.6.3 in Engineering Statistics Handbook. NIST/SEMATECH, 2005. http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/apr/section1/apr163.htm.

在 Wolfram|Alpha 中引用

极值分布

请引用为

Weisstein, Eric W. "极值分布。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ExtremeValueDistribution.html

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