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泊松分布

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PoissonDistribution

给定一个 泊松过程，在 N 次试验中恰好获得 n 次成功的概率由 二项分布 的极限给出

P_p(n|N)=(N!)/(n!(N-n)!)p^n(1-p)^(N-n).
(1)

将分布视为预期成功次数的函数

nu=Np
(2)

而不是固定 p 时的 样本大小 N，则方程 (2) 变为

P_(nu/N)(n|N)=(N!)/(n!(N-n)!)(nu/N)^n(1-nu/N)^(N-n),
(3)

让 样本大小 N 变大，则分布趋近于

P_nu(n)=lim_(N->infty)P_p(n|N)
(4)
=lim_(N->infty)(N(N-1)...(N-n+1))/(n!)(nu^n)/(N^n)(1-nu/N)^N(1-nu/N)^(-n)
(5)
=lim_(N->infty)(N(N-1)...(N-n+1))/(N^n)(nu^n)/(n!)(1-nu/N)^N(1-nu/N)^(-n)
(6)
=1·(nu^n)/(n!)·e^(-nu)·1
(7)
=(nu^ne^(-nu))/(n!),
(8)

这被称为泊松分布（Papoulis 1984，第 101 和 554 页；Pfeiffer 和 Schum 1973，第 200 页）。请注意，样本大小 N 已完全从概率函数中消失，对于所有 nu 值，概率函数具有相同的功能形式。

泊松分布在 Wolfram 语言 中实现为PoissonDistribution[mu]。

正如预期的那样，泊松分布是归一化的，因此概率之和等于 1，因为

sum_(n=0)^inftyP_nu(n)=e^(-nu)sum_(n=0)^infty(nu^n)/(n!)=e^(-nu)e^nu=1.
(9)

概率的比率由下式给出

(P_nu(n=i+1))/(P(n=i))=((nu^(i+1)e^(-nu))/((i+1)!))/((e^(-nu)nu^i)/(i!))=nu/(i+1).
(10)

泊松分布在以下情况下达到最大值

(dP_nu(n))/(dn)=(e^(-nu)n(gamma-H_n+lnnu))/(n!)=0,
(11)

其中 gamma 是 欧拉-马歇罗尼常数，H_n 是 调和数，导致超越方程

gamma-H_n+lnnu=0,
(12)

对于 n 无法精确求解。

泊松分布的 矩生成函数 由下式给出

M(t)=e^(-nu)e^(nue^t)=e^(nu(e^t-1))
(13)
M^'(t)=nue^te^(nu(e^t-1))
(14)
M^('')(t)=(nue^t)^2e^(nu(e^t-1))+nue^te^(nu(e^t-1))
(15)
R(t)=nu(e^t-1)
(16)
R^'(t)=nue^t
(17)
R^('')(t)=nue^t,
(18)

所以

mu=R^'(0)=nu
(19)
sigma^2=R^('')(0)=nu
(20)

（Papoulis 1984，第 554 页）。

原始矩也可以通过求和直接计算，这产生了与 贝尔多项式 phi_n(x) 和 第二类斯特林数 的意外联系，

phi_n(x)=sum_(k=0)^infty(e^(-x)x^k)/(k!)k^n=sum_(k=1)^nx^kS(n,k)
(21)

被称为 Dobiński 公式。因此，

mu_2^'=nu(1+nu)
(22)
mu_3^'=nu(1+3nu+nu^2)
(23)
mu_4^'=nu(1+7nu+6nu^2+nu^3).
(24)

中心矩 可以计算为

mu_2=nu
(25)
mu_3=nu
(26)
mu_4=nu(1+3nu),
(27)

因此，均值、方差、偏度 和 峰度超额 为

mu=nu
(28)
sigma^2=nu
(29)
gamma_1=(mu_3)/(sigma^3)=nu/(nu^(3/2))=nu^(-1/2)
(30)
gamma_2=(mu_4)/(sigma^4)-3=(nu(1+3nu))/(nu^2)-3
(31)
=(nu+3nu^2-3nu^2)/(nu^2)=nu^(-1).
(32)

泊松分布的 特征函数 是

phi(t)=e^(nu(e^(it)-1))
(33)

（Papoulis 1984，第 154 和 554 页），而 累积生成函数 是

K(h)=nu(e^h-1)=nu(h+1/(2!)h^2+1/(3!)h^3+...),
(34)

所以

kappa_r=nu.
(35)

泊松分布的 平均偏差 由下式给出

MD=(2e^(-nu)nu^(|_nu_|+1))/(|_nu_|!).
(36)

泊松分布也可以用以下项表示

lambda=nu/x,
(37)

变化率，使得

P_nu(n)=((lambdax)^ne^(-lambdax))/(n!).
(38)

两个变量的泊松分布的 矩生成函数 由下式给出

M(t)=e^((nu_1+nu_2)(e^t-1)).
(39)

如果独立变量 x_1, x_2, ..., x_N 服从参数为 mu_1, mu_2, ..., mu_N 的泊松分布，则

X=sum_(j=1)^Nx_j
(40)

服从参数为

mu=sum_(j=1)^Nmu_j.
(41)

这可以从 累积生成函数 看出

K_j(h)=mu_j(e^h-1)
(42)
K=sum_(j)K_j(h)=(e^h-1)sum_(j)mu_j=mu(e^h-1).
(43)

Saslaw (1989) 使用了泊松分布的推广来模拟宇宙中观测到的星系聚类。该分布的形式由下式给出

f_b(N)=(N^_(1-b))/(N!)[N^_(1-b)+Nb]^(N-1)e^(N^_(1-b)-Nb),
(44)

其中 N 是体积 V 中的星系数量，N^_=n^_V，n^_ 是星系的平均密度，b=-W/(2K) approx 0.70+/-0.05，其中 0<=b<1 是引力能与特殊运动动能的比率，令 b=0 得到

f_0(N)=(e^(-N^_)N^_^N)/(N!),
(45)

这确实是参数为 nu=N^_ 的泊松分布。类似地，令 b=1 得到 f_1(N)=0。

另请参阅

二项分布、Erlang 分布、泊松过程、泊松定理 在 MathWorld 课堂中探索此主题

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参考文献

Beyer, W. H. 《CRC 标准数学表》，第 28 版 Boca Raton, FL: CRC Press, p. 532, 1987.Grimmett, G. and Stirzaker, D. 《概率与随机过程》，第 2 版 Oxford, England: Oxford University Press, 1992.Papoulis, A. "Poisson Process and Shot Noise." Ch. 16 in 《概率、随机变量和随机过程》，第 2 版 New York: McGraw-Hill, pp. 554-576, 1984.Pfeiffer, P. E. and Schum, D. A. 《应用概率导论》 New York: Academic Press, 1973.Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; and Vetterling, W. T. "Incomplete Gamma Function, Error Function, Chi-Square Probability Function, Cumulative Poisson Function." §6.2 in 《FORTRAN 数值方法：科学计算的艺术》，第 2 版 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 209-214, 1992.Saslaw, W. C. "Some Properties of a Statistical Distribution Function for Galaxy Clustering." Astrophys. J. 341, 588-598, 1989.Spiegel, M. R. 《概率与统计理论与问题》 New York: McGraw-Hill, pp. 111-112, 1992.

在 Wolfram|Alpha 上引用

泊松分布

请引用为

Weisstein, Eric W. “泊松分布。” 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/PoissonDistribution.html

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