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伯努利分布

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BernoulliDistribution

伯努利分布是一种离散分布，具有两种可能的 outcomes，分别标记为 n=0 和 n=1，其中 n=1 （“成功”）发生的概率为 p，n=0 （“失败”）发生的概率为 q=1-p，其中 0<p<1。 因此，它具有概率密度函数

P(n)={1-p for n=0; p for n=1,
(1)

也可以写成

P(n)=p^n(1-p)^(1-n).
(2)

相应的分布函数是

D(n)={1-p for n=0; 1 for n=1.
(3)

伯努利分布在 Wolfram 语言中实现为BernoulliDistribution[p].

在每次试验中成功概率固定的情况下，进行固定次数试验的表现被称为伯努利试验。

抛硬币中正面和反面的分布是伯努利分布的一个例子，其中 p=q=1/2。伯努利分布是最简单的离散分布，也是其他更复杂的离散分布的构建块。基于独立伯努利试验序列定义的多种变量类型的分布总结在下表中（Evans 等人，2000 年，第 32 页）。

分布定义
二项分布n 次试验中成功的次数
几何分布首次成功之前的失败次数
负二项分布第 x 次成功之前的失败次数

特征函数是

phi(t)=1+p(e^(it)-1),
(4)

矩生成函数是

M(t)=<e^(tn)>
(5)
=sum_(n=0)^(1)e^(tn)p^n(1-p)^(1-n)
(6)
=e^0(1-p)+e^tp,
(7)

因此

M(t)=(1-p)+pe^t
(8)
M^'(t)=pe^t
(9)
M^('')(t)=pe^t
(10)
M^((n))(t)=pe^t.
(11)

这些给出原始矩

mu_1^'=p
(12)
mu_2^'=p
(13)
mu_n^'=p.
(14)

中心矩

mu_2=p(1-p)
(15)
mu_3=p(1-p)(1-2p)
(16)
mu_4=p(1-p)(3p^2-3p+1).
(17)

均值、方差、偏度和超额峰度分别为

mu=p
(18)
sigma^2=p(1-p)
(19)
gamma_1=(1-2p)/(sqrt(p(1-p)))
(20)
gamma_2=(6p^2-6p+1)/(p(1-p)).
(21)

为了找到伯努利总体均值 p 的均值估计量 p^^，设 N 为样本大小，并假设从 N 次试验中获得 n 次成功。假设估计量由下式给出

p^^=n/N,
(22)

因此，在 N 次试验中获得观察到的 n 次成功的概率为

(N; n)p^n(1-p)^(N-n).
(23)

因此，估计量 p^^ 的期望值由下式给出

<p^^>=sum_(n=0)^(N)p(N; n)p^n(1-p)^(N-n)
(24)
=(1-p)^N(1/(1-p))^Np
(25)
=p,
(26)

因此，p^^ 确实是总体均值 p 的无偏估计量。

平均偏差由下式给出

MD=2p(1-p).
(27)

另请参阅

伯努利试验, 二项分布, 抛硬币, 几何分布, 负二项分布, 游程

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参考文献

Evans, M.; Hastings, N.; 和 Peacock, B. "伯努利分布。" 第 4 章，载于《统计分布》，第 3 版。纽约：Wiley，第 31-33 页，2000 年。

在 Wolfram|Alpha 中被引用

伯努利分布

请引用为

Weisstein, Eric W. "伯努利分布。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/BernoulliDistribution.html

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