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热传导方程

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一个 偏微分 扩散方程，形式为

(partialU)/(partialt)=kappadel ^2U.
(1)

在物理上，该方程通常出现在以下情况中：kappa 是热扩散率，U 是温度。

一维热传导方程为

(partialU)/(partialt)=kappa(partial^2U)/(partialx^2).
(2)

这可以使用分离变量法求解，使用

U(x,t)=X(x)T(t).
(3)

那么

X(dT)/(dt)=kappaT(d^2X)/(dx^2).
(4)

两边同除以 kappaXT 得到

1/(kappaT)(dT)/(dt)=1/X(d^2X)/(dx^2)=-1/(lambda^2),
(5)

其中每一侧必须等于一个常数。 考虑到 T 中的指数解，我们选择了一个负分离常数，以便解在所有时间都保持有限，并且 lambda 的单位是长度。T 的解是

T(t)=Ae^(-kappat/lambda^2),
(6)

而 X 的解是

X(x)=Bcos(x/lambda)+Csin(x/lambda).
(7)

通解然后为

U(x,t)=T(t)X(x)
(8)
=Ae^(-kappat/lambda^2)[Bcos(x/lambda)+Csin(x/lambda)]
(9)
=e^(-kappat/lambda^2)[Dcos(x/lambda)+Esin(x/lambda)].
(10)

如果我们给定边界条件

U(0,t)=0
(11)

和

U(L,t)=0,
(12)

那么将 (11) 应用于 (10) 得到

Dcos(x/lambda)=0=>D=0,
(13)

并将 (12) 应用于 (10) 得到

Esin(L/lambda)=0=>L/lambda=npi=>lambda=L/(npi),
(14)

因此 (10) 变为

U_n(x,t)=E_ne^(-kappa(npi/L)^2t)sin((npix)/L).
(15)

由于通解可以有任何 n，

U(x,t)=sum_(n=1)^inftyc_nsin((npix)/L)e^(-kappa(npi/L)^2t).
(16)

现在，如果我们给定初始条件 U(x,0)，我们有

U(x,0)=sum_(n=1)^inftyc_nsin((npix)/L).
(17)

两边同时乘以 sin(mpix/L) 并从 0 到 L 积分得到

int_0^Lsin((mpix)/L)U(x,0)dx=int_0^Lsum_(n=1)^inftyc_nsin((mpix)/L)sin((npix)/L)dx.
(18)

使用 sin(nx) 和 sin(mx) 的正交性，

sum_(n=1)^(infty)c_nint_0^Lsin((npix)/L)sin((mpix)/L)dx=sum_(n=1)^(infty)1/2Ldelta_(mn)c_n
(19)
=L/2c_m
(20)
=int_0^Lsin((mpix)/L)U(x,0)dx,
(21)

因此

c_m=2/Lint_0^Lsin((mpix)/L)U(x,0)dx.
(22)

如果边界条件被温度导数在边缘处为零的要求取代，则 (◇) 和 (◇) 被替换为

(partialU)/(partialx)|_((0,t))=0
(23)
(partialU)/(partialx)|_((L,t))=0.
(24)

按照与之前相同的步骤，可以找到类似的答案，但正弦被余弦取代

U(x,t)=1/2c_0+sum_(n=1)^inftyc_ncos((npix)/L)e^(-kappa(npi/L)^2t),
(25)

其中

c_n=2/Lint_0^Lcos((mpix)/L)U(x,0)dx.
(26)

另请参阅

热传导方程--圆盘

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请引用为

Weisstein, Eric W. “热传导方程。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/HeatConductionEquation.html

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