科尔特韦格-德弗里斯方程

偏微分方程

(1)

（Lamb 1980; Zwillinger 1997, p. 175），常缩写为“KdV”。这是方程的无量纲化版本

(2)

由 Korteweg 和 de Vries (1895) 推导得出，描述了弱非线性浅水波。这里，， 是通道高度， 是表面张力， 是重力加速度，以及 是密度。该方程被发现具有孤立波解，证实了 Russell 在 1834 年 8 月对孤立通道波的观察结果（Russell 1844），这比发现早了 51 年。

鲜为人知的事实是，科尔特韦格-德弗里斯方程的第一个亏格-2 解是由 Baker (1907; Previato 2004) 给出的。

Zabusky 和 Kruskal (1965) 随后研究了费米-帕斯塔-乌拉姆实验的连续极限，并出人意料地获得了科尔特韦格-德弗里斯方程。他们发现孤立波解的行为类似于叠加原理，尽管波本身是高度非线性的。他们将这种波称为孤子，并着手为它们设计新的求解技术（Miura et al. 1968）。Miura et al. (1968) 发现了九个守恒定律，而 Miura (1968) 发现了第十个，暗示可能存在无限数量的守恒量（Tabor 1989, p. 288）。事实上，Gardner 提出的变换提供了一种算法，用于计算 KdV 方程的无限数量的守恒密度，这些密度通过 Miura 变换与所谓的修正 KdV 方程的守恒密度相关联

(3)

（Tabor 1989, p. 291）。科尔特韦格-德弗里斯方程也表现出伽利略不变性。

KdV 方程求解的重要一步是由 Gardner et al. (1967) 提供的，他们提出可以通过势 的一维薛定谔方程的性质来研究它

(4)

通过在 (3) 中进行变量替换并使用伽利略不变性获得。如果相应的量子力学反散射问题（即，从相关的量子力学性质——称为散射数据——到势）可以解决，那么 的演化就可以重建，而无需实际求解 KdV 方程（Tabor 1989, pp. 291-292）。虽然这个过程听起来很复杂，实际上只能针对相当特殊的情况精确求解，但它可以被视为更复杂的逆傅里叶变换的类似物（结果被称为反散射变换）。使用反散射变换，可以获得 -孤子解。

Lax (1968) 表明 KdV 方程等价于所谓的“等谱可积条件”，用于线性算子对，称为 Lax 对（Tabor 1989, p. 304）。

所谓的广义 KdV 方程由下式给出

(5)

（Boyd 1986; Zwillinger 1997, p. 175）。所谓的变形 KdV 方程由下式给出

(6)

（Dodd 和 Fordy 1983; Zwillinger 1997, p. 178），修正 KdV 方程由下式给出

(7)

（Calogero 和 Degasperis 1982, p. 51; Tabor 1989, p. 304; Zwillinger 1997, p. 178），或者

(8)

（Dodd 和 Fordy 1983; Zwillinger 1997, p. 178）。

柱状 KdV 方程由下式给出

(9)

（Calogero 和 Degasperis 1982, p. 50; Zwillinger 1997, p. 175），球状 KdV 方程由下式给出

(10)

（Calogero 和 Degasperis 1982, p. 51; Zwillinger 1997, p. 175）。