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亥姆霍兹微分方程

一个 椭圆偏微分方程，由下式给出

del ^2psi+k^2psi=0,
(1)

其中 psi 是一个 标量函数，而 del ^2 是标量 拉普拉斯算子，或

del ^2F+k^2F=0,
(2)

其中 F 是一个 矢量函数，而 del ^2 是矢量拉普拉斯算子（Moon 和 Spencer 1988，第 136-143 页）。

当 k=0 时，亥姆霍兹微分方程简化为 拉普拉斯方程。当 k^2<0 （即，对于虚数 k），该方程变为扩散方程的空间部分。

亥姆霍兹微分方程只能通过 分离变量法 在 11 个坐标系中求解，其中 10 个（除了 共焦抛物面坐标）是 共焦椭球面 系统的特例：笛卡尔坐标、共焦椭球面坐标、共焦抛物面坐标、圆锥坐标、柱坐标、椭圆柱坐标、扁球面坐标、抛物面坐标、抛物柱坐标、长球面坐标 和 球坐标 (Eisenhart 1934ab)。拉普拉斯方程（k=0 的亥姆霍兹微分方程）在另外两个 双球坐标 和 环面坐标 中是可分离的。

如果亥姆霍兹方程在三维坐标系中是可分离的，那么 Morse 和 Feshbach (1953, 第 509-510 页) 表明

(h_1h_2h_3)/(h_n^2)=f_n(u_n)g_n(u_i,u_j),
(3)

其中 i!=j!=n。拉普拉斯算子 因此是 如下形式

del ^2=1/(h_1h_2h_3){g_1(u_2,u_3)partial/(partialu_1)[f_1(u_1)partial/(partialu_1)]+g_2(u_1,u_3)partial/(partialu_2)[f_2(u_2)partial/(partialu_2)]+g_3(u_1,u_2)partial/(partialu_3)[f_3(u_3)partial/(partialu_3)]},
(4)

简化为

del ^2=1/(h_1^2f_1)partial/(partialu_1)[f_1(u_1)partial/(partialu_1)]+1/(h_2^2f_2)partial/(partialu_2)[f_2(u_2)partial/(partialu_2)]+1/(h_3^2f_3)partial/(partialu_3)[f_3(u_3)partial/(partialu_3)].
(5)

这样的坐标系服从 Robertson 条件，这意味着 Stäckel 行列式 是 如下形式

S=(h_1h_2h_3)/(f_1(u_1)f_2(u_2)f_3(u_3)).
(6)

参见

拉普拉斯方程、泊松方程、分离变量法、球贝塞尔微分方程、Stäckel 行列式

使用 探索

参考文献

Eisenhart, L. P. "欧几里得 3 空间中的可分离系统。" Physical Review 45, 427-428, 1934a.Eisenhart, L. P. "Stäckel 的可分离系统。" Ann. Math. 35, 284-305, 1934b.Eisenhart, L. P. "薛定谔方程可分离的势。" Phys. Rev. 74, 87-89, 1948.Kriezis, E. E.; Tsiboukis, T. D.; Panas, S. M.; 和 Tegopoulos, J. A. "涡流：理论与应用。" Proc. IEEE 80, 1559-1589, 1992.Moon, P. 和 Spencer, D. E. "十一个坐标系" 和 "矢量亥姆霍兹方程"。《场论手册，包括坐标系、微分方程及其解，第 2 版。》纽约：Springer-Verlag，第 1-48 页和 136-143 页，1988 年。Morse, P. M. 和 Feshbach, H. 《理论物理方法，第一部分。》纽约：McGraw-Hill，第 125-126 页、271 页和 509-510 页，1953 年。Zwillinger, D. (编)。《CRC 标准数学表格和公式。》博卡拉顿，佛罗里达州：CRC Press，第 417 页，1995 年。Zwillinger, D. 《微分方程手册，第 3 版。》波士顿，马萨诸塞州：Academic Press，第 129 页，1997 年。

在 中被引用

亥姆霍兹微分方程

引用为

Weisstein, Eric W. "亥姆霍兹微分方程。" 来自 Web 资源。https://mathworld.net.cn/HelmholtzDifferentialEquation.html

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