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Sine-Gordon 方程

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一种偏微分方程，出现在微分几何和相对论场论中。它的名字是根据其与Klein-Gordon 方程的相似形式而起的文字游戏。该方程以及几种求解技术在 19 世纪就已为人所知，但当人们意识到它导致具有孤子碰撞性质的解（“扭结”和“反扭结”）（Perring 和 Skyrme 1962；Tabor 1989，第 307 页）时，该方程的重要性大大增加。Sine-Gordon 方程也出现在许多其他物理应用中（Barone 1971；Gibbon 等人 1979；Bishop 和 Schneider 1981；Davydov 1985；Infeld 和 Rowlands 2000，第 202 页和 240 页），包括约瑟夫森结（两个超导体之间的连接）中磁通量的传播、连接到拉紧导线的刚性摆的运动以及晶体中的位错。

Sine-Gordon 方程是

v_(tt)-v_(xx)+sinv=0,
(1)

其中 v_(tt) 和 v_(xx) 是偏导数（Infeld 和 Rowlands 2000，第 199 页）。

所谓的双 Sine-Gordon 方程由下式给出

u_(xt)+/-[sinu+etasin(1/2u)]=0
(2)

(Calogero 和 Degasperis 1982，第 135 页；Zwillinger 1995，第 135 页)。

该方程可以通过定义来变换

xi=1/2(x-t)
(3)
eta=1/2(x+t).
(4)

然后，根据链式法则，

partial/(partialx)=(partialxi)/(partialx)partial/(partialxi)+(partialeta)/(partialx)partial/(partialeta)
(5)
=1/2(partial/(partialxi)+partial/(partialeta))
(6)
partial/(partialt)=(partialxi)/(partialt)partial/(partialxi)+(partialeta)/(partialt)partial/(partialeta)
(7)
=1/2(partial/(partialeta)-partial/(partialxi)).
(8)

这给出

(partial^2v)/(partialx^2)=1/4(partial/(partialxi)+partial/(partialeta))((partialv)/(partialxi)+(partialv)/(partialeta))
(9)
=1/4((partial^2v)/(partialxi^2)+2(partial^2v)/(partialxipartialeta)+(partial^2v)/(partialeta^2))
(10)
(partial^2v)/(partialt^2)=1/4(partial/(partialeta)-partial/(partialxi))((partialv)/(partialeta)-(partialv)/(partialxi))
(11)
=1/4((partial^2v)/(partialxi^2)-2(partial^2v)/(partialxipartialeta)+(partial^2v)/(partialeta^2)).
(12)

代入得到

v_(xieta)=sinv.
(13)

Sine-Gordon 方程的另一个解是通过代入 v(xi,eta)=f(z) 给出，其中 z=xieta，得到常微分方程

zf^('')+f^'=sinf.
(14)

然而，这无法解析求解，因为令 g=e^(if) 得到

g^('')-(g^('2))/g+(2g^'-g^2+1)/(2z)=0,
(15)

这是第三类 Painlevé 超越函数（Tabor 1989，第 309 页）。

虽然该方程不能在所有一般性情况下求解，但可以通过假设解的形式为 ansatz，即解的形式为 of the form

v(x,t)=4tan^(-1)[(phi(x))/(psi(t))].
(16)

这可以从物理上解释，因为恒等式

tan^(-1)theta={-1/2pi-tan^(-1)(1/theta) for theta<0; 1/2pi-tan^(-1)(1/theta) for theta>0
(17)

意味着交换空间和时间变量可以保留解，正如 Sine-Gordon 方程 (1) 的对称性所要求的那样。（尽管因子 4 的原因尚不完全清楚。）

将假设 (16) 代入 Sine-Gordon 方程 (1) 得到

(psi^2)/phiphi_(xx)+(phi^2)/psipsi_(tt)=(psi^2+2psi_t^2-psipsi_(tt))+(-phi^2+2phi_x^2-phiphi_(xx))
(18)

（Lamb 1980；Infeld 和 Rowlands 2000，第 199-200 页，更正了错别字）。由于右侧包含两项，一项仅依赖于 t，另一项仅依赖于 x，因此可以通过对两侧分别对 x 和 t 求导来消除它。这样做并将结果除以 -2psipsi_tphiphi_x 得到

((phi_(xxx))/(phi^2phi_x)-(phi_(xx))/(phi^3))+((psi_(ttt))/(psi^2psi_t)-(psi_(tt))/(psi^3))=0,
(19)

这可以写成稍微简单的形式

((phi_(xx)/phi)_x)/(phiphi_x)+((psi_(tt)/psi)_t)/(psipsi_t)=0.
(20)

由于左项仅依赖于 x，而右项仅依赖于 t，因此可以使用变量分离法来写成

((phi_(xx)/phi)_x)/(phiphi_x)=-((psi_(tt)/psi)_t)/(psipsi_t)=-6k^2,
(21)

其中分离常数假定为正数。重写这两个方程得到

d/(dx)((phi_(xx))/phi)=-6k^2phiphi_x d/(dt)((psi_(tt))/psi)=6k^2psipsi_t.
(22)

这些可以直接积分得到

(phi_(xx))/phi=-3k^2phi^2+m (psi_(tt))/psi=3k^2psi^2+sqrt(m^2-1),
(23)

其中 m 和 sqrt(m^2-1) 是积分常数，它们通过方程 (◇) 连接。清除分母，

phi_(xx)=-3k^2phi^3+mphi psi_(tt)=3k^2psi^3+sqrt(m^2-1)psi.
(24)

具有上述分离的 Sine-Gordon 方程的最终形式为

phi_x=-k^2phi^3+mphi+n^2
(25)
psi_t=k^2psi^3+sqrt(m^2-1)psi-n^2
(26)

（Infeld 和 Rowlands 2000，第 200 页，更正了错别字），其中 n^2 是另一个积分常数。这些方程通常可以用第一类不完全椭圆积分 F(phi,k) 来求解，但可以通过选择特别简单的积分常数值来研究有趣的解类。

SineGordonKink

通过取 k=n=0 和 m>1 获得单孤子解，在这种情况下，方程具有以下解

phi(x)=e^(mx)
(27)
psi(t)=e^(tsqrt(m^2-1)).
(28)

代入方程 (◇) 得到

v=4tan^(-1)((e^(mx))/(e^(tsqrt(m^2-1))))
(29)
=4tan^(-1){exp[m(x-(sqrt(m^2-1))/mt)]}
(30)
=4tan^(-1)[exp((x-betat)/(sqrt(1-beta^2)))],
(31)

其中 beta 已定义为

beta=(sqrt(m^2-1))/m.
(32)

如果 m 用负号定义，则会得到相同的解，但用 -x 代替 +x。正解是孤子，也称为“扭结解”，而负解是反孤子，也称为“反扭结解”（Tabor 1989，第 306-307 页；Infeld 和 Rowlands 2000，第 200 页）。

存在 k=0, m>1 的双孤子解

v=4tan^(-1)[(betasinh(betamx))/(cosh(betamt))]
(33)

（Infeld 和 Rowlands 2000，第 200 页）。

双扭结解由下式给出

v=4tan^(-1)[(msinh(x/(sqrt(1-m^2))))/(betacosh((mt)/(sqrt(1-m^2))))]
(34)

（Perring 和 Skyrme 1962；Drazin 1988；Tabor 1989，第 307-308 页）。

当 k!=0, n=0, m^2<1 时，会出现“呼吸子”解

v=-4tan^(-1)[m/(sqrt(1-m^2))(sin(sqrt(1-m^2)t))/(cosh(mx))].
(35)

对于固定的 x,v，这是 t 的周期函数，频率为 2pi/sqrt(1-m^2)（Infeld 和 Rowlands 2000，第 200-201 页）。

另请参阅

Klein-Gordon 方程, Sinh-Gordon 方程, 孤子

使用 探索

参考文献

Baker, H. F. Abelian Functions: Abel's Theorem and the Allied Theory, Including the Theory of the Theta Functions. New York: Cambridge University Press, p. xix, 1995.Barone, A.; Esposito, F.; Magee, C. J.; and Scott, A. C. "Theory and Applications of the Sine-Gordon Equation." Riv. Nuovo Cim. 1, 227-267, 1971.Bishop, A. R. and Schneider, T. (Eds.). Solitons and Condensed Matter Physics: Proceedings of a Symposium Held June 19-27, 1978. Berlin: Springer-Verlag, 1981.Calogero, F. and Degasperis, A. Spectral Transform and Solitons: Tools to Solve and Investigate Nonlinear Evolution Equations. New York: North-Holland, 1982.Davydov, A. S. Solitons in Molecular Systems. Dordrecht, Netherlands: Reidel, 1985.Drazin, P. G. and Johnson, R. S. Solitons: An Introduction. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1988.Gibbon, J. D.; James, I. N.; and Moroz, I. M. "The Sine-Gordon Equation as a Model for a Rapidly Rotating Baroclinic Fluid." Phys. Script. 20, 402-408, 1979.Infeld, E. and Rowlands, G. Nonlinear Waves, Solitons, and Chaos, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, 2000.Kaup, D. J. "Method for Solving the Sine-Gordon Equation in Laboratory Coordinates." Stud. Appl. Math. 54, 165-179, 1975.Lamb, G. L. Jr. Elements of Soliton Theory. New York: Wiley, 1980.Perring, J. K. and Skyrme, T. H. R. "A Model Unified Field Equation." Nucl. Phys. 31, 550-555, 1962.Tabor, M. "The Sine-Gordon Equation." §7.5.b in Chaos and Integrability in Nonlinear Dynamics: An Introduction. New York: Wiley, pp. 305-309, 1989.Zwillinger, D. (Ed.). CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 417, 1995.

在 上被引用

Sine-Gordon 方程

请这样引用

Weisstein, Eric W. “Sine-Gordon 方程。” 来自 —— 资源。 https://mathworld.net.cn/Sine-GordonEquation.html

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